If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:6:32

Доказателство: Успоредните прави разделят триъгълника пропорционално

Видео транскрипция

Трябва да докажем, че ако една права е успоредна на едната страна на един триъгълник, то тя разделя другите две страни пропорционално. Постави видеото на пауза и опитай да докажеш твърдението. Може би ще ти е полезен този чертеж. Добре, сега да го докажем заедно. Можем да започнем с дадения чертеж. Знаем, че отсечката ED е успоредна на страната СВ. Ще го запиша. Отсечката ED е успоредна на страната СВ. Отсечката ЕD е това, което ни е дадено. Това е една права или една отсечка, която е успоредна на една от страните на триъгълника. Като имаме предвид това, което ни е дадено, и това, което е записано върху чертежа за този триъгълник, трябва да намерим друг начин да представим, друг начин да формулираме факта, че отсечката разделя другите две страни пропорционално, което означава, че отношението между частта от страната на първоначалния триъгълник, която е от едната страна на пресичащата права, към дължината на другата част е едно и също за двете страни на триъгълника, които тази права пресича. Друг начин да формулираме това, че отсечката разделя двете страни пропорционално – ако разгледаме този триъгълник ето тук, това означава, че дължината на отсечката АЕ към дължината на отсечката ЕС е равно на отношението на дължината на отсечка AD към дължината на отсечка DB. Това твърдение ето тук и това, което подчертах горе, са еквивалентни твърдения за дадения триъгълник. Начинът, по който можем да опитаме да го докажем, е да докажем подобие на триъгълник AED и триъгълник АСВ. Как ще го направим? Понеже тези две прави са успоредни, можем да разглеждаме отсечката АС като права, която пресича две успоредни прави. Това означава, че двата съответни ъгъла са равни помежду си. Можем да кажем, че ъгъл 1 е равен на ъгъл 3. Причината за това е понеже те са съответни ъгли. Опитвам се да го запиша съкратено. Това е съкращение на съответни ъгли. Това е изводът. Знаем също, че ъгъл две е равен на ъгъл 4 по същата причина. Значи ъгъл 2 е равен на ъгъл 4. Повтарям – понеже това са съответни ъгли. Този път имаме друга секуща права, но това са съответни ъгли, получени при пресичане на две успоредни прави с трета права. Сега, ако разгледаме триъгълник AED и триъгълник АСВ, виждаме, че съществуват две двойки съответно равни ъгъла. Когато имаме две двойки съответно равни ъгли, това означава, че всички ъгли в триъгълниците са съответно равни. Можеш да видиш това ето тук, ако те интересува, но два ъгъла са достатъчни, като по същество имаме и трети ъгъл, понеже ъгълът, който можем да наречем ВАС, е общ за двата триъгълника. Така можем да кажем, че триъгълник АЕD е подобен на триъгълник АСВ, тъй като всички техни ъгли са съответно равни. Това е първият признак за подобие на триъгълници. Щом тези два триъгълника са подобни, тогава можем да съставим отношение. Това ни казва, че отношението между дължините на отсечка АЕ към цялата страна АС е равно на отношението на дължината на отсечката АD, към цялата страна, т.е. към АВ. Това означава, че – ще започна да пиша отдясно, за да спестя място. Това е равно на отношението на АЕ върху – дължината на АС е равна на сбора от дължините на АЕ плюс ЕС. Значи дължината на АЕ плюс дължината на ЕС, а после това е равно на дължината на отсечката АD върху дължината на АВ, като дължината на АВ e равна на дължината на отсечката AD плюс дължината на DB. Сега трябва да реша как да преобразувам алгебрично този израз, за да получа това, което имам ето тук горе. Ще се преместя малко надолу. Единият начин, който може да пробвам, за да опростя, е да умножа на кръст, което е еквивалентно на това да умножа двете страни по тези два знаменателя. Правили сме го в други видео уроци. Това ще бъде равно на дължината на отсечката АЕ, по (AD + DB), т.е. по сбора от дължините на тези отсечки, което е равно на дължината на AD по дължината на АЕ плюс дължината на отсечката ЕС. Ще разкрия скобите. Имаме дължината на АЕ по дължината на AD, плюс дължината на АЕ по дължината на DB, равно на дължината на АD по дължината на АЕ, плюс дължината на AD по дължината на ЕС. Да видим дали можем да опростим. От двете страни имаме АЕ по AD. Просто ще извадя АЕ по АD от двете страни. Остава ми равно само на това тук. Премествам се надолу. Всъщност ще препиша това на чисто. Значи имаме АЕ по DB равно на AD по ЕС. Това са дължините на всички тези отсечки ето тук. Ако разделим двете страни на равенството на ЕС, ще получим тук долу едно ЕС, а тези тук се съкръщават. Ако разделим двете страни на DB, тези ще се съкратят и ще получим DB ето тук. Ако преработим алгебрично този израз, който имаме ето тук, получаваме, че дължината на отсечката АЕ върху дължината на отсечката ЕС; дължината на отсечката АЕ върху дължината на отсечката ЕС равно на дължината на отсечката AD върху дължината на отсечката DB, което е точно това, което искахме да докажем. Това означава, че тази отсечка тук (ED), която е успоредна на тази страна ето тук (СВ), разделя двете страни на триъгълника пропорционално.