Хомотетия в три измерения

Дадена е някаква равнина, да кажем, че това е повърхността на твоето бюро. Ще начертая един триъгълник в тази равнина. Този триъгълник изглежда примерно по този начин, като не е задължително да е правоъгълен триъгълник. Не е необходимо този триъгълник да бъде правоъгълен, въпреки, че изглежда като такъв. Ще го означа като триъгълник АВС. Сега ще направя нещо интересно. Ще поставя една четвърта точка Р, която не лежи в равнината на триъгълника, и която е точно над точката В. Просто ще начертая тази точка право отгоре. Точка Р се намира ето тук. Сега мога да построя една пирамида, като използвам точка Р като връх на пирамидата. Сега искам да помислим какво ще се случи, ако направя напречно сечение на пирамидата? В този случай дължината на отсечката РВ е височината на пирамидата. Ако отидем до средата на тази височина и ако направим едно напречно сечение на пирамидата, което е успоредно на равнината на основата, как ще изглежда това напречно сечение? То ще изглежда приблизително така. Може би забелязваш нещо много интересно. Ако транслираме синия триъгълник право надолу върху равнината на основата, той ще изглежда ето така. И когато го разглеждаме по този начин, изглежда, че той е образ на първоначалния триъгълник при хомотетия с център в точката В. Всъщност това е хомотетия с център точка В и коефициент на хомотетия 0,5. Можеш да видиш ето тук, че тази дължина тук – че страната ВС е изобразена с половината от дължината на първоначалната страна ВС. Това е половината от дължината на първоначалната АВ, а това е половината от дължината на първоначалната страна АС. Можем да направим това (сечението) и на други височини в тази пирамида. Ако вземем 0,75 от разстоянието между точките Р и В, ако дойдем ето тук – това е по-близо до първоначалния триъгълник, по-близо е до нашата равнина. Тогава напречното сечение в тази точка ще изглежда ето така. Ако го транслираме надолу върху първоначалната равнина, как ще изглежда неговият образ? Той ще изглежда ето така. Ще изглежда като образ на първоначалния триъгълник при хомотетия с център точка В. Само че този път коефициентът на хомотетия е 0,75. А после, ако отидем на една четвърт от разстоянието между точките Р и В? Тогава ще се получи нещо такова, една четвърт от разстоянието. Ако направим напречно сечение, успоредно на първоначалната равнина, т.е. на основата, то ще изглежда ето така. Ако транслираме това сечение право надолу върху основата, образът ще изглежда горе-долу така. Това е образ при хомотетия с център точка В и коефициент 0,25. Причина всички тези образи на сеченията в равнината да изглеждат като образи на триъгълник АВС, получени при хомотетии с център точка В, е това, че точка Р е точно над точка В. Това е един начин да си представим хомотетията, или да видим връзките между тези напречни сечения на това тримерно тяло, в този случай това е пирамида, и каква е връзката на тези напречни сечения и основата на пирамидата. Сега ще ти задам един интересен въпрос. Какво ще се случи, ако направя напречно сечение точно в точка Р? Тогава ще получа само една точка. Няма да се получи триъгълник, но можем да разглеждаме тази точка като образ при хомотетия с коефициент 0. А ако направим напречно сечение при основата? То ще бъде нашият първоначален триъгълник АВС. Можем да го разглеждаме като образ при хомотетия с коефициент единица, защото сме изминали цялото разстояние до самата основа. Надявам се, че това ти помага да видиш съответните връзки между напречните сечения на тримерно тяло, които са успоредни на основата, и понятието хомотетия.