If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Гимназиална геометрия

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 9

Урок 2: Принцип на Кавалиери и методи за дисекция на тела
Математика
Гимназиална геометрия
Стереометрия
Принцип на Кавалиери и методи за дисекция на тела
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Принципът на Кавалиери в три измерения

Класна стая на Google
Ако две тримерни тела имат еднаква височина и еднаква напречна площ във всяка точка от тяхната височина, то те имат еднакъв обем.

Принципът на Кавалиери в три измерения

Ключова идея: Ако две тела имат еднакви start color #7854ab, start text, в, и, с, о, ч, и, н, и, end text, end color #7854ab и еднакви start color #208170, start text, п, л, о, щ, space, н, а, space, н, а, п, р, е, ч, н, и, т, е, space, с, е, ч, е, н, и, я, end text, end color #208170 във всяка точка от тази височина, тези тела имат равни start color #ca337c, start text, о, б, е, м, и, end text, end color #ca337c.

Защо това е вярно

Представи си, че имаш стълбче от монети (или книги, карти за игра или нещо друго с успоредни равнини). Ако приложим натиск върху горната част на стълба, така че да се наклони настрани, това променя ли обема? Разбира се, че не!
2 стълба с идентични чипове за покер. И двата стълба съдържат еднакъв брой чипове. Единият стълб е прав цилиндър. В другия стълб всеки чип е леко изместен спрямо този под него.
От HB (собствена разработка) [CC BY-SA 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons
Можем да разрежем едно тяло на много успоредни слоеве, след това да ги приплъзнем настрани, което не променя обема на тялото.
Два прави цилиндъра. Първият цилиндър в основата е еднакъв на втория. След това е срязан на все повече и повече слоеве. Слоевете са леко изместени наляво и надясно. Когато слоевете са много тънки, първият цилиндър прилича на наклонен цилиндър.
Виж тази Симулация на принципа на Кавалиери. Движи плъзгачите, за да променяш броя на слоевете и колко да се изкриви цилиндърът наляво. Опитай да увеличиш броя на слоевете, докато цилиндърът изглежда гладък.

Разглеждане на други необичайни тела

Можем да използваме принципа на Кавалиери не само за призми и цилиндри. Например можем също така да приплъзнем слоевете на конус, при което да не променим неговия обем.
Анимация, показваща хоризонтални напречни сечения на правилен конус и второ тяло с еднакви напречни сечения като на конуса, но напречните сечения са приплъзнати настрани по вълнообразен и неравномерен начин.
Разгледай тази Симулация на скулптура на Кавалиери Придвижи мишката върху конуса отдясно, за да промениш формата му. Обърни внимание, че без значение какво правиш, площта на напречните сечения на двете тела във всяка точка от височината остава една и съща.
И двете тела имат start color #7854ab, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, end color #7854ab start color #7854ab, 21, end color #7854ab и start color #208170, start text, п, л, о, щ, space, н, а, space, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, end color #208170 start color #208170, 64, pi, end color #208170.
Задача 1
Колко е обемът на конуса отляво?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
кубични единици
Колко е обемът на неправилния конус отдясно?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
кубични единици

Принцип на Кавалиери за различни тела

Едно от най-полезните качества на принципа на Кавалиери е това, че той може да се използва даже и тогава, когато напречните сечения имат различна форма, стига площите им да са еднакви.
Задача 2.1
  • Електричен ток
Следните фигури имат равни височини и равни площи на основата.
Кои от следните фигури имат еднакъв обем?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.