If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Принципът на Кавалиери в три измерения

Ако две тримерни тела имат еднаква височина и еднаква напречна площ във всяка точка от тяхната височина, то те имат еднакъв обем.

Принципът на Кавалиери в три измерения

Ключова идея: Ако две тела имат еднакви височини и еднакви площ на напречните сечения във всяка точка от тази височина, тези тела имат равни обеми.

Защо това е вярно

Представи си, че имаш стълбче от монети (или книги, карти за игра или нещо друго с успоредни равнини). Ако приложим натиск върху горната част на стълба, така че да се наклони настрани, това променя ли обема? Разбира се, че не!
2 стълба с идентични чипове за покер. И двата стълба съдържат еднакъв брой чипове. Единият стълб е прав цилиндър. В другия стълб всеки чип е леко изместен спрямо този под него.
От HB (собствена разработка) [CC BY-SA 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)], via Wikimedia Commons
Можем да разрежем едно тяло на много успоредни слоеве, след това да ги приплъзнем настрани, което не променя обема на тялото.
Два прави цилиндъра. Първият цилиндър в основата е еднакъв на втория. След това е срязан на все повече и повече слоеве. Слоевете са леко изместени наляво и надясно. Когато слоевете са много тънки, първият цилиндър прилича на наклонен цилиндър.
Виж тази Симулация на принципа на Кавалиери. Движи плъзгачите, за да променяш броя на слоевете и колко да се изкриви цилиндърът наляво. Опитай да увеличиш броя на слоевете, докато цилиндърът изглежда гладък.

Разглеждане на други необичайни тела

Можем да използваме принципа на Кавалиери не само за призми и цилиндри. Например можем също така да приплъзнем слоевете на конус, при което да не променим неговия обем.
Анимация, показваща хоризонтални напречни сечения на правилен конус и второ тяло с еднакви напречни сечения като на конуса, но напречните сечения са приплъзнати настрани по вълнообразен и неравномерен начин.
Разгледай тази Симулация на скулптура на Кавалиери Придвижи мишката върху конуса отдясно, за да промениш формата му. Обърни внимание, че без значение какво правиш, площта на напречните сечения на двете тела във всяка точка от височината остава една и съща.
И двете тела имат височина 21 и площ на основата 64π.
Задача 1
Колко е обемът на конуса отляво?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
кубични единици
Колко е обемът на неправилния конус отдясно?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi
кубични единици

Принцип на Кавалиери за различни тела

Едно от най-полезните качества на принципа на Кавалиери е това, че той може да се използва даже и тогава, когато напречните сечения имат различна форма, стига площите им да са еднакви.
Задача 2.1
Следните фигури имат равни височини и равни площи на основата.
Кои от следните фигури имат еднакъв обем?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.