Обем на пирамида или конус

Пирамида е колекцията от всички точки (включително) между основа с форма на многоъгълник и връх, който е в различна равнина от основата.

Друг начин да дефинираме пирамида е като множество от всички образи при хомотетии на основата, като център на хомотетията е върхът, а коефициентите на хомотетия са числата от $0$‍ до $1$‍.

Конус е обичайна фигура, подобна на пирамида, чиято основа е кръг или друга извита фигура вместо многоъгълник. Конусът има извити латерални стени вместо няколко триъгълни стени, но по отношение на обема конусът и пирамидата са еднакви.

Формулата за обема $V$‍ на пирамида е: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{площта на основата})(\text{височината})$‍. Откъде идва тази формула?

Представи си, че започваме с куб с дължина на ръба $1$‍ единица. Можем да срежем този куб на $3$‍ еднакви пирамиди.

Мащабирането на пирамида е същото като мащабирането на призмата, която е описана около нея. При мащабиране на пирамида с обем $V_{\text{първоначално}}$‍ с коефициенти на мащабиране $r$‍, $s$‍ и $t$‍ в три перпендикулярни посоки, тогава обемът $V_{\text{мащабиран}}$‍ на мащабираната фигура е $V_{\text{немащабиран}}rst$‍.

Ключова идея: Обемът на пирамидата отново е ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ от обема на описаната призма, дори след като мащабираме и двете тела.

Представи си, че сме срязали пирамидата на слоеве, които са успоредни на нейната основа. Можем да нарежем такива слоеве без да променим обема. Когато броят на слоевете клони към безкрайност, пирамидата започва да изглежда гладка.

Принципът на Кавалиери гласи, че докато не променяме височината или площта на напречните сечения, успоредни на основата, обемът също няма да се промени! Можем да използваме същата формула за обем на пирамида, независимо къде се премества върхът ѝ.

При пирамидите има още едно удивително приложение на принципа на Кавалиери. Две основи могат да имат еднаква площ, но съвсем различна форма. Ако височината и площта на основата на две пирамиси или тела са равни, тогава са равни и техните обеми, тъй като площта на всички напречни сечения, успоредни на основата, също трябва да са равни помежду си.

Следователно нашата формула $V_{\text{пирамида}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\text{площ на основата})(\text{височина})$‍ отново е приложима, независимо каква фигура е основата.

Друг начин, използван от математици като теб, за да докажат, че обемът на пирамидата е равен на ${\displaystyle \frac{1}{3}}$‍ от обема на описаната призма, е като определят приблизително обема с помощта на призми.

Можем да моделираме пирамида с помощта на стълб от призми, точно както истинските пирамиди се изграждат от отделни блокове. Обемът, изчислен чрез този модел, е по-голям от реалния обем на пирамидата. Но колкото по-голям брой и по-тънки слоеве използваме, толкова по-точно определяме обема на пирамидата.

Тъй като подобните на призма тела могат да имат за основа произволна затворена фигура и можем да приплъзнем призмите без да променяме техния обем, това отношение се запазва за всички подобни на пирамида тела, включително конусите.