Основно съдържание
Гимназиална геометрия
Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 9
Урок 2: Принцип на Кавалиери и методи за дисекция на тела- Принципът на Кавалиери в две измерения
- Принципът на Кавалиери в три измерения
- Принципът на Кавалиери в три измерения
- Приложение на принципа на Кавалиери
- Разбиране на формулата за обем на пирамида
- Обем на пирамида или конус
- Разбиране на формулата за обем на конус
- Решаване на примери със свързани обеми
- Решаване на примери със свързани обеми
- Обем на призма и пирамида
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Обем на пирамида или конус
Откъде се появява коефициента 1/3 във формулата за обем на пирамида? Каква е връзката с обем на конус? А какво можем да кажем за наклонените пирамиди?
Какво представляват пирамидите и конусите?
Пирамида е колекцията от всички точки (включително) между основа с форма на многоъгълник и връх, който е в различна равнина от основата.
Друг начин да дефинираме пирамида е като множество от всички образи при хомотетии на основата, като център на хомотетията е върхът, а коефициентите на хомотетия са числата от 0 до 1.
Конус е обичайна фигура, подобна на пирамида, чиято основа е кръг или друга извита фигура вместо многоъгълник. Конусът има извити латерални стени вместо няколко триъгълни стени, но по отношение на обема конусът и пирамидата са еднакви.
Обем на пирамида
Формулата за обема V на пирамида е: V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, п, л, о, щ, т, а, space, н, а, space, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, right parenthesis. Откъде идва тази формула?
Откъде е това start fraction, 1, divided by, 3, end fraction във формулата?
Представи си, че започваме с куб с дължина на ръба 1 единица. Можем да срежем този куб на 3 еднакви пирамиди.
Мащабиране на пирамида
Мащабирането на пирамида е същото като мащабирането на призмата, която е описана около нея. При мащабиране на пирамида с обем V, start subscript, start text, п, ъ, р, в, о, н, а, ч, а, л, н, о, end text, end subscript с коефициенти на мащабиране r, s и t в три перпендикулярни посоки, тогава обемът V, start subscript, start text, м, а, щ, а, б, и, р, а, н, end text, end subscript на мащабираната фигура е V, start subscript, start text, н, е, м, а, щ, а, б, и, р, а, н, end text, end subscript, r, s, t.
Ключова идея: Обемът на пирамидата отново е start fraction, 1, divided by, 3, end fraction от обема на описаната призма, дори след като мащабираме и двете тела.
Разрязване на слоевете
Представи си, че сме срязали пирамидата на слоеве, които са успоредни на нейната основа. Можем да нарежем такива слоеве без да променим обема. Когато броят на слоевете клони към безкрайност, пирамидата започва да изглежда гладка.
Принципът на Кавалиери гласи, че докато не променяме височината или площта на напречните сечения, успоредни на основата, обемът също няма да се промени! Можем да използваме същата формула за обем на пирамида, независимо къде се премества върхът ѝ.
Промяна на формата на основата
При пирамидите има още едно удивително приложение на принципа на Кавалиери. Две основи могат да имат еднаква площ, но съвсем различна форма. Ако височината и площта на основата на две пирамиси или тела са равни, тогава са равни и техните обеми, тъй като площта на всички напречни сечения, успоредни на основата, също трябва да са равни помежду си.
Следователно нашата формула V, start subscript, start text, п, и, р, а, м, и, д, а, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, п, л, о, щ, space, н, а, space, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, right parenthesis отново е приложима, независимо каква фигура е основата.
Как можем да получим start fraction, 1, divided by, 3, end fraction по друг начин
Друг начин, използван от математици като теб, за да докажат, че обемът на пирамидата е равен на start fraction, 1, divided by, 3, end fraction от обема на описаната призма, е като определят приблизително обема с помощта на призми.
Можем да моделираме пирамида с помощта на стълб от призми, точно както истинските пирамиди се изграждат от отделни блокове. Обемът, изчислен чрез този модел, е по-голям от реалния обем на пирамидата. Но колкото по-голям брой и по-тънки слоеве използваме, толкова по-точно определяме обема на пирамидата.
Брой слоеве | start fraction, start text, О, б, е, м, space, н, а, space, п, и, р, а, м, и, д, а, т, а, comma, space, и, з, г, р, а, д, е, н, а, space, о, т, space, б, л, о, к, ч, е, т, а, end text, divided by, start text, О, б, е, м, space, н, а, space, п, р, и, з, м, а, т, а, end text, end fraction |
---|---|
4 | approximately equals, 0, comma, 469 |
16 | approximately equals, 0, comma, 365 |
64 | approximately equals, 0, comma, 341 |
256 | approximately equals, 0, comma, 335 |
1024 | approximately equals, 0, comma, 334 |
4096 | approximately equals, 0, comma, 333 |
infinity | start fraction, 1, divided by, 3, end fraction |
Тъй като подобните на призма тела могат да имат за основа произволна затворена фигура и можем да приплъзнем призмите без да променяме техния обем, това отношение се запазва за всички подобни на пирамида тела, включително конусите.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.