Основно съдържание
Гимназиална геометрия
Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 9
Урок 2: Принцип на Кавалиери и методи за дисекция на тела- Принципът на Кавалиери в две измерения
- Принципът на Кавалиери в три измерения
- Принципът на Кавалиери в три измерения
- Приложение на принципа на Кавалиери
- Разбиране на формулата за обем на пирамида
- Обем на пирамида или конус
- Разбиране на формулата за обем на конус
- Решаване на примери със свързани обеми
- Решаване на примери със свързани обеми
- Обем на призма и пирамида
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Обем на пирамида или конус
Откъде се появява коефициента 1/3 във формулата за обем на пирамида? Каква е връзката с обем на конус? А какво можем да кажем за наклонените пирамиди?
Какво представляват пирамидите и конусите?
Пирамида е колекцията от всички точки (включително) между основа с форма на многоъгълник и връх, който е в различна равнина от основата.
Друг начин да дефинираме пирамида е като множество от всички образи при хомотетии на основата, като център на хомотетията е върхът, а коефициентите на хомотетия са числата от до .
Конус е обичайна фигура, подобна на пирамида, чиято основа е кръг или друга извита фигура вместо многоъгълник. Конусът има извити латерални стени вместо няколко триъгълни стени, но по отношение на обема конусът и пирамидата са еднакви.
Обем на пирамида
Формулата за обема на пирамида е: . Откъде идва тази формула?
Откъде е това във формулата?
Представи си, че започваме с куб с дължина на ръба единица. Можем да срежем този куб на еднакви пирамиди.
Мащабиране на пирамида
Мащабирането на пирамида е същото като мащабирането на призмата, която е описана около нея. При мащабиране на пирамида с обем с коефициенти на мащабиране , и в три перпендикулярни посоки, тогава обемът на мащабираната фигура е .
Ключова идея: Обемът на пирамидата отново е от обема на описаната призма, дори след като мащабираме и двете тела.
Разрязване на слоевете
Представи си, че сме срязали пирамидата на слоеве, които са успоредни на нейната основа. Можем да нарежем такива слоеве без да променим обема. Когато броят на слоевете клони към безкрайност, пирамидата започва да изглежда гладка.
Принципът на Кавалиери гласи, че докато не променяме височината или площта на напречните сечения, успоредни на основата, обемът също няма да се промени! Можем да използваме същата формула за обем на пирамида, независимо къде се премества върхът ѝ.
Промяна на формата на основата
При пирамидите има още едно удивително приложение на принципа на Кавалиери. Две основи могат да имат еднаква площ, но съвсем различна форма. Ако височината и площта на основата на две пирамиси или тела са равни, тогава са равни и техните обеми, тъй като площта на всички напречни сечения, успоредни на основата, също трябва да са равни помежду си.
Следователно нашата формула отново е приложима, независимо каква фигура е основата.
Как можем да получим по друг начин
Друг начин, използван от математици като теб, за да докажат, че обемът на пирамидата е равен на от обема на описаната призма, е като определят приблизително обема с помощта на призми.
Можем да моделираме пирамида с помощта на стълб от призми, точно както истинските пирамиди се изграждат от отделни блокове. Обемът, изчислен чрез този модел, е по-голям от реалния обем на пирамидата. Но колкото по-голям брой и по-тънки слоеве използваме, толкова по-точно определяме обема на пирамидата.
Брой слоеве | |
---|---|
Тъй като подобните на призма тела могат да имат за основа произволна затворена фигура и можем да приплъзнем призмите без да променяме техния обем, това отношение се запазва за всички подобни на пирамида тела, включително конусите.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.