If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Обем на пирамида или конус

Откъде се появява коефициента 1/3 във формулата за обем на пирамида? Каква е връзката с обем на конус? А какво можем да кажем за наклонените пирамиди?

Какво представляват пирамидите и конусите?

Пирамида е колекцията от всички точки (включително) между основа с форма на многоъгълник и връх, който е в различна равнина от основата.
Друг начин да дефинираме пирамида е като множество от всички образи при хомотетии на основата, като център на хомотетията е върхът, а коефициентите на хомотетия са числата от 0 до 1.
Конус е обичайна фигура, подобна на пирамида, чиято основа е кръг или друга извита фигура вместо многоъгълник. Конусът има извити латерални стени вместо няколко триъгълни стени, но по отношение на обема конусът и пирамидата са еднакви.

Обем на пирамида

Формулата за обема V на пирамида е: V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, п, л, о, щ, т, а, space, н, а, space, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, right parenthesis. Откъде идва тази формула?

Откъде е това start fraction, 1, divided by, 3, end fraction във формулата?

Представи си, че започваме с куб с дължина на ръба 1 единица. Можем да срежем този куб на 3 еднакви пирамиди.
Задача 1
Колко е обемът на всяка пирамида?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
кубични единици

Мащабиране на пирамида

Мащабирането на пирамида е същото като мащабирането на призмата, която е описана около нея. При мащабиране на пирамида с обем V, start subscript, start text, п, ъ, р, в, о, н, а, ч, а, л, н, о, end text, end subscript с коефициенти на мащабиране r, s и t в три перпендикулярни посоки, тогава обемът V, start subscript, start text, м, а, щ, а, б, и, р, а, н, end text, end subscript на мащабираната фигура е V, start subscript, start text, н, е, м, а, щ, а, б, и, р, а, н, end text, end subscript, r, s, t.
Задача 2
Следната пирамида е мащабирана версия на предишната пирамида с квадратна основа, като са използвани различни мащабиращи коефициенти във всяка посока.
Какъв е обемът на пирамидата с правоъгълна основа?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, с, м, end text, cubed

Ключова идея: Обемът на пирамидата отново е start fraction, 1, divided by, 3, end fraction от обема на описаната призма, дори след като мащабираме и двете тела.

Разрязване на слоевете

Представи си, че сме срязали пирамидата на слоеве, които са успоредни на нейната основа. Можем да нарежем такива слоеве без да променим обема. Когато броят на слоевете клони към безкрайност, пирамидата започва да изглежда гладка.
Принципът на Кавалиери гласи, че докато не променяме височината или площта на напречните сечения, успоредни на основата, обемът също няма да се промени! Можем да използваме същата формула за обем на пирамида, независимо къде се премества върхът ѝ.
Задача 3
Колко е обемът на тази пирамида?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, м, end text, cubed

Промяна на формата на основата

При пирамидите има още едно удивително приложение на принципа на Кавалиери. Две основи могат да имат еднаква площ, но съвсем различна форма. Ако височината и площта на основата на две пирамиси или
тела са равни, тогава са равни и техните обеми, тъй като площта на всички напречни сечения, успоредни на основата, също трябва да са равни помежду си.
Следователно нашата формула V, start subscript, start text, п, и, р, а, м, и, д, а, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, п, л, о, щ, space, н, а, space, о, с, н, о, в, а, т, а, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, right parenthesis отново е приложима, независимо каква фигура е основата.
Задача 4,1
  • Електричен ток
Следната пирамида има основа равностранен триъгълник.
Колко е обемът на тази пирамида?
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, с, м, end text, cubed

Как можем да получим start fraction, 1, divided by, 3, end fraction по друг начин

Друг начин, използван от математици като теб, за да докажат, че обемът на пирамидата е равен на start fraction, 1, divided by, 3, end fraction от обема на описаната призма, е като определят приблизително обема с помощта на призми.
Можем да моделираме пирамида с помощта на стълб от призми, точно както истинските пирамиди се изграждат от отделни блокове. Обемът, изчислен чрез този модел, е по-голям от реалния обем на пирамидата. Но колкото по-голям брой и по-тънки слоеве използваме, толкова по-точно определяме обема на пирамидата.
Брой слоевеstart fraction, start text, О, б, е, м, space, н, а, space, п, и, р, а, м, и, д, а, т, а, comma, space, и, з, г, р, а, д, е, н, а, space, о, т, space, б, л, о, к, ч, е, т, а, end text, divided by, start text, О, б, е, м, space, н, а, space, п, р, и, з, м, а, т, а, end text, end fraction
4approximately equals, 0, comma, 469
16approximately equals, 0, comma, 365
64approximately equals, 0, comma, 341
256approximately equals, 0, comma, 335
1024approximately equals, 0, comma, 334
4096approximately equals, 0, comma, 333
infinitystart fraction, 1, divided by, 3, end fraction
Тъй като подобните на призма тела могат да имат за основа произволна затворена фигура и можем да приплъзнем призмите без да променяме техния обем, това отношение се запазва за всички подобни на пирамида тела, включително конусите.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.