If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решаване на примери със свързани обеми

Използване на свързани обеми (използване на обема на едно тяло за намиране на обема на друго тяло). Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В условието е дадено, че всички показани тела имат равни височини. Всички тела, освен тяло В, имат квадратни основи. Значи тази основа е квадрат, това е квадрат, това е квадрат и това е квадрат. Всички тела, освен телата В и С, са призми. Тяло В е цилиндър, а тяло С е пирамида. Всички тела, освен тяло D, са прави. Вижда се, че тяло D – това тяло тук – е малко изкривено, или може да го разглеждаш като наклонено. Всички тела, освен тяло E, имат едно и също лице на основата. Основата на тяло Е е мащабирана образ на основата на тяло А, като коефициентът на мащабирането е 1,5. Добре, дадено е, че тяло А има обем 28 кубични сантиметра. Какви са обемите на другите тела? Постави видеото на пауза и опитай да отговориш на въпроса. Сега да решим задачата заедно. Дадено е, че основите и височините... повечето от тези тела имат равно лице на основата, само на тяло Е лицето на основата е различно. Дадено е, че всички тела имат равни височини. Един начин да разглеждаме обема на телата е, че той е произведение на лицето на основата по височината. За тяло А нещата са много лесни. Ако означим лицето на основата с b, това е лицето на основата, после имаме височина h, ето я тук. Знаем, че лицето на основата по височината дава обема на тялото. Следователно за тяло А лицето на основата по височината дава обем, равен на 28 кубични сантиметра. (записва го на екрана) Добре. Какво имаме за тяло В? Това е цилиндър. Как намираме обем на цилиндър? Отново умножаваме лицето на основата по височината. Обемът е равен на лицето на основата по височината. Сега може би се чудиш: защо обемът на цилиндъра е същият като обема на правоъгълната призма? Това може да се обясни с принципа на Кавалиери. Ако две тела имат равни височини, а във всяка точка от тяхната височина имат еднакво лице на напречното сечение, тогава тези тела имат равни обеми. Този обем тук също е равен на лицето на основата по височината. Просто ще кажа, че за тяло А, за тяло В е ето тук... ще направя тези точки малко по-добре, както и тези двоеточия. Обемът на тяло В също е равен на лицето на основата по височината, което е равно на 28 кубични сантиметра. (записва го на екрана) Искам да поясня. Този обем е равен на този. Този обем е равен на този обем. Какво да кажем за тяло С? Какъв ще бъде обемът, каква е формулата за обем на пирамида? Разгледахме логиката и я изведохме в друго видео. Знаем, че обемът на една пирамида е равен на 1/3 по лицето на основата, по височината. Знаем, че това тяло има същото лице на основата като двете тела преди него, както и същата височина. Значи знаем колко е произведението от лицето на основата по височината. То е равно на 28 кубични сантиметра. Обемът на пирамидата е равен на 1/3 по 28 кубични сантиметра. Това е равно на 1/3 по 28 кубични сантиметра, което можем да представим като 28 върху 3 кубични сантиметра. Можем да го представим още и като 9 цяло и 1/3 куб. см. Това е обемът на тяло С. Сега да разгледаме тяло D. Ще пиша ето тук. За тази наклонена призма, можем да кажем, че за нея важи същият принцип на Кавалиери, който ще използваме отново. Формулата за намиране на обема ще е същата като формулата за обема на тяло А. Обемът е равен на лицето на основата по височината. Мога да запиша, че обемът е равен на лицето на основата по височината, която вече знаем колко е. Дадено ни е в условието. Лицето на основата по височината ще даде същия обем като на тяло А. Обемът е равен на 28 кубични сантиметра. Сега да разгледаме тяло Е. Тук случаят е интересен, защото тялото има различно лице на основата. Колко е това лице ето тук? В условието е дадено, че основата на тяло Е е образ при хомотетия на основата на тяло А, като коефициентът на хомотетия е 1,5. Двете основи са квадратни. Лицето на основата на тяло А е х по х. Лицето на основата на тяло Е ще бъде 1,5 по х, по 1,5 по х. Ще го запиша. 1,5 по х, по 1,5 по х. Друг начин да разсъждаваме е – ще го напиша ето тук, където има свободно място. Знаем, че лицето на основата b, лицето на основата на тяло А е равно на х по х. Колко е лицето на основата на тяло Е? То е равно на 1,5 по х по 1,5 по х или 1,5 по х, цялото на квадрат, като 1,5 на квадрат е равно на 2,25, по х на квадрат, а ние знаем, че х на квадрат или х по х е равно на b. Това е равно на лицата на основите за всички тези фигури. Следователно лицето на основат на тяло Е, това лице ето тук е равно на 2,25 по b. Това се чете трудно. Ще го напиша по-ясно. 2,25 по b е лицето на тази основа (на тяло Е). Тогава колко е обемът на това тяло? Обемът е равен на лицето на основата му, което е 2,25 по лицето на основата на всички тези останали тела, по височината, която е същата – h. Знаем колко е произведението на b по h. b е лицето на основата на тяло А. Знаем, че b по h е 28 кубични сантиметра. Тогава обемът на тяло Е е равен на 2,25 по 28 куб. см. В момента нямам калкулатор, макар че мога да го сметна на ръка. Но смятам, че разбираш основната идея. Само трябва да умножиш 2,25 по 28, за да получиш обема на тяло Е. Това е така, понеже и двете страни на основата са мащабирани с коефициент 1,5.