Зареждане

Намиране на четириъгълник чрез неговите симетрични характеристики (пример 2)

Видео транскрипция

Две от точките, които определят даден четириъгълник, са с координати (–4; –2)... Нека я отбележим на чертежа. Това е (–4; –2). И (0; 5).. Нула... пет. Това тук е точката с координати (0; 5). Четириъгълникът остава непроменен след осева симетрия спрямо правата у = х/2. Как изглежда тази права? у = х/2. Ще я начертая със син цвят. у = х/2. Тоест, когато х = 0, и у = 0. Пресечната точка с ординатната ос е 0, а наклонът е 1/2. Всеки път, когато х нарасне с 1, у ще нарасне с 1/2. Или всеки път, когато х нарасне с 2, у ще се увеличи с 1. Х нараства с 2, у нараства с 1. Или, казано по друг начин, у е винаги 1/2 от х. Когато х е 4, у ще е 2. Когато х е 6, у е 3. Когато х е 8, у е 4. Може да свържем тези точки. Ще опитам да начертая правата така, че да прилича на права. И след това мога да продължа. Когато х е –2, у ще е –1. Когато х е –4, у е –2. Оказа се, че тази права минава през тази точка тук. И продължава насам с наклон от 1/2. Та, тази права... мога да я удебеля, след като вече намерихме няколко точки от нея. Това е правата у = х/2. Казано ни е още, че четириъгълникът остава непроменен след осева симетрия спрямо правата, спрямо правата у = –2х + 5. Пресечната точка с абсцисната ос е тук. Когато х е 0, у е 5. Всъщност тя минава през тази точка. И наклонът е –2. Всеки път, когато увеличим с 1... или всеки път, когато увеличим х с 1, намаляваме у с 2. Това ще дойде тук. Стигаме до тази точка. И продължаваме по същия начин с наклон –2. Правата ще изглежда по този начин. Ето така ще изглежда. Тя минава през тази точка и продължава след това. Това е най-добрият чертеж на правата, на който съм способен. Това е правата у = –2х + 5. Сега, нека помислим. Да видим дали можем да начертаем четириъгълника. Нека първо построим симетричния образ на четириъгълника, или, нека построим образите на точките, които имаме, спрямо правата у = х/2. Ето това е правата у = х/2. Тази пурпурна точка с координати (–4; 2) се намира върху правата. Може да кажем, че тя съвпада с образа си. Може да си представим, че е върху огледалото. Но пък можем лесно да намерим симетричния ѝ образ спрямо тази права. Тази права, ако спуснем перпендикуляр... Всъщност, тази права тук, у = –2х + 5, е перпендикулярна на правата у = х/2. Как разбрахме? Ами, ако една права има наклон m, перпендикулярната на нея права е с наклон, който е реципрочен и с обратен знак. Ще бъде –1/m. Първата права има наклон 1/2. Кое е реципрочното число с обратен знак на 1/2? Реципрочното на 1/2 е 2/1. И сменяме знака. И получаваме –2. Така че този наклон е реципрочен и с обратен знак на този наклон. И тези прави са наистина... опитвам се да изтрия излишните неща... те са перпендикулярни. Може да спуснем перпендикуляр, буквално ще се движим по тази права тук, за да намерим образа на точката. Вижда се, че слизаме надолу с 2 и минаваме надясно с 1, два пъти. Нека слезем надолу с 2 единици, да отидем надясно веднъж, след това да повторим. Ще го направа със същия цвят. Симетричният образ на тази точка спрямо у = х/2 е тази точка. Сега имаме три точки от нашия четириъгълник. Да видим дали може да намерим четвърта. Да отидем при пурпурната точка. Тя, както видяхме, се намира върху правата у = х/2, така че не може да ѝ намерим образ. Може обаче да построим симетричния ѝ образ спрямо у = –2х + 5. Отново, тези прави са перпендикулярни помежду си. Нека го отбележа всъщност. Правите са перпендикулярни. Може да спуснем перпендикуляр и да намерим образа ѝ. Отиваме надясно 2 единици и нагоре с 1. Повтаряме веднъж, два пъти, три пъти от лявата страна. Затова нека го направим отново веднъж, два пъти, три пъти и от дясната страна. Симетричният образ е точно тук. Искаме да стигнем до тази права и колкото се отдалечим от долната лява страна искаме да продължим в същата посока, нагоре и вдясно, същото разстояние, за да получим образа. Ето я в крайна сметка. Това е другата точка. Сега, след като имаме четири точки, или върхове на четириъгълника... Четирите върха на четириъгълника са... или четирите страни. Нека направо начертая четириъгълника. Имаме и четирите върха. Значи, това е една от страните тук. Това е страна. Това е още една страна. И може да се увериш, че тези са успоредни. Как може да проверим, че са успоредни? Ами те имат еднакъв наклон. За да стигнем от тази точка до тази точка, трябва да отидем хоризонтално 4 надясно и вертикално да изминем една, две, три, четири, пет, шест, седем. Значи наклонът е 7/4. Наклонът тук е вертикалният път спрямо хоризонталния, или изменението на у върху изменението на х , това е 7/4. А ето тук, изминаваме едно, две, три, четири. Тоест, хоризонтално четири единици, след това вертикално една, две, три, четири, пет, шест, седем. Така че наклонът тук също е 7/4. Следователно двете прави са успоредни. След това може да начертаем и тези страни. Тази е горната страна. Горната е ето тук. Какъв е наклонът ѝ? Да видим. От х = 0 стигаме до х = 8. Отиваме надолу, изменението на у е –1 всеки път, когато увеличим х с 8. Това е наклонът ѝ, той е –1/8. И това е абсолютно същият наклон, който имаме тук долу. –1/8. Тези две прави също са успоредни. Тази страна също е успоредна на тази. Най-малкото, установихме, че става дума за успоредник. Но да видим дали не може да сме по-прецизни. Това прилича доста на ромб. Прилича на успоредник, на който всички четири страни са с еднаква дължина. Има няколко начина, по които може да проверим, че успоредникът е ромб. Може да намерим разстоянията между точките. Знаем координатите, затова може да използваме формулата за разстояние, която е директно приложение на Питагоровата теорема. Или още по-добре, може да разгледаме диагоналите на ромба... диагоналите на успоредника. Опитваме да разберем дали е ромб. Ако диагоналите са перпендикулярни, значи става дума за ромб. Ние вече показахме, че тези диагонали, този диагонал и този диагонал, са перпендикулярни. Пресичат се с прав ъгъл помежду си. Така че това трябва да е ромб.