If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Гимназиална геометрия

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 5

Урок 7: Намиране на ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез тригонометрични отношения
Математика
Гимназиална геометрия
Правоъгълни триъгълници и тригонометрия
Намиране на ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез тригонометрични отношения
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Въведение в обратните тригонометрични функции

Класна стая на Google
Научи за аркуссинуса, аркускосинуса и аркустангенса и как те могат да бъдат използвани за намиране на неизвестен ъгъл в правоъгълни триъгълници.
Да разгледаме един нов тип тригонометрична задача. Интересното тук е, че тези задачи не могат да бъдат решени чрез синус, косинус или тангенс.
Задача: Каква е мярката на ъгъла L в триъгълника по-долу?
Това, което знаем: По отношение на angle, L знаем дължините на срещулежащия и прилежащия катет, затова можем да напишем:
t, g, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Но това не ни помага да намерим мярката на angle, L. Объркани сме!
Това, което ти е нужно: Нужни са ти нови математически инструменти, за да решаваш задачи като тази. Твоите стари приятели синус, косинус и тангенс не ти вършат работа. Те използват ъгли и дават отношения на страните, но на теб ти трябват функции, които използват отношенията на страните и дават ъгли. Необходими са ти обратни тригонометрични функции!

Обратни тригонометрични функции

Вече знаем за обратните математически действия. Например събирането и изваждането са обратни действия, както и умножението и делението са обратни действия. Всяко действие е противоположно на своето обратно действие.
Идеята в тригонометрията е същата. Обратните тригонометрични функции правят обратното на “нормалните” тригонометрични функции. Например:
  • Обратният синус left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis прави обратното на функцията синус.
  • Обратният косинус left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis прави обратното на функцията косинус.
  • Обратният тангенс left parenthesis, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis прави обратното на функцията тангенс.
По принцип, ако знаеш тригонометричното отношение, но не и ъгъла, можеш да използваш съответната обратна тригонометрична функция, за да намериш ъгъла. Математическият израз на това е показан по-долу.
При тригонометричните функции аргументите са ъгли, а стойностите са отношения на странитеПри обратните тригонометрични функции аргументите са отношения на страните, а стойностите на функциите са ъгли
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end fractionright arrowt, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Внимавай да не се подведеш!

Изразът sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis не означава същото като start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Казано по друг начин, minus, 1 не е степенен показател. Тук означава просто обратна функция.
ФункцияГрафика
sine, left parenthesis, x, right parenthesis
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (наричана още \arcsin, left parenthesis, x, right parenthesis)
start fraction, 1, divided by, sine, x, end fraction (наричана още c, o, s, e, c, left parenthesis, x, right parenthesis)
Но има и алтернативен начин за означаване, с който се избягва тази уловка! Можем да изразим обратния синус и като \arcsin, обратния косинус като \arccos, а обратния тангенс като \arctan. Този начин е често срещан в компютърните програмни езици и по-рядко в математиката.

Решаване на уводната задача

В уводната задача са ни дадени дължините на срещулежащия и прилежащия катет, следователно можем да използваме обратната функция на функцията тангенс, за да намерим ъгъла.
m∠L=tg⁡−1( срещулежаща страна прилежаща страна)Дефинираме.m∠L=tg⁡−1(3565)Заместваме.m∠L≈28,30∘Пресмятаме с калкулатор.\begin{aligned} { m\angle L}&=\operatorname{tg}^{-1} \left(\dfrac{\blueD{\text{ срещулежаща страна}} }{\maroonC{\text{ прилежаща страна}}}\right)&{\gray{\text{Дефинираме.}}} \\\\ m\angle L&=\operatorname{tg}^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)&{\gray{\text{Заместваме.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28{,}30^\circ &{\gray{\text{Пресмятаме с калкулатор.}}}\end{aligned}

Да решим няколко практически примера.

Задача 1
Даден e triangle, K, I, P, намери m, angle, I.
Закръгли отговора си до най-близката стотна на градуса.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Задача 2
Даден triangle, D, E, F, намери m, angle, E.
Закръгли отговора си до най-близката стотна на градуса.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Задача 3
Даден е triangle, L, Y, N, намери m, angle, Y.
Закръгли отговора си до най-близката стотна на градуса.
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Задача с повишена трудност
Намери всички неизвестни в триъгълника. Тоест, намери всички неизвестни страни и ъгли.
Закръгли отговорите си до най-близката стотна.
O, E, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
m, angle, O, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
m, angle, Z, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.