Основно съдържание
Гимназиална геометрия
Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 5
Урок 7: Намиране на ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез тригонометрични отношенияВъведение в обратните тригонометрични функции
Научи за аркуссинуса, аркускосинуса и аркустангенса и как те могат да бъдат използвани за намиране на неизвестен ъгъл в правоъгълни триъгълници.
Да разгледаме един нов тип тригонометрична задача. Интересното тук е, че тези задачи не могат да бъдат решени чрез синус, косинус или тангенс.
Задача: Каква е мярката на ъгъла L в триъгълника по-долу?
Това, което знаем: По отношение на angle, L знаем дължините на срещулежащия и прилежащия катет, затова можем да напишем:
Но това не ни помага да намерим мярката на angle, L. Объркани сме!
Това, което ти е нужно: Нужни са ти нови математически инструменти, за да решаваш задачи като тази. Твоите стари приятели синус, косинус и тангенс не ти вършат работа. Те използват ъгли и дават отношения на страните, но на теб ти трябват функции, които използват отношенията на страните и дават ъгли. Необходими са ти обратни тригонометрични функции!
Обратни тригонометрични функции
Вече знаем за обратните математически действия. Например събирането и изваждането са обратни действия, както и умножението и делението са обратни действия. Всяко действие е противоположно на своето обратно действие.
Идеята в тригонометрията е същата. Обратните тригонометрични функции правят обратното на “нормалните” тригонометрични функции. Например:
- Обратният синус left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis прави обратното на функцията синус.
- Обратният косинус left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis прави обратното на функцията косинус.
- Обратният тангенс left parenthesis, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis прави обратното на функцията тангенс.
По принцип, ако знаеш тригонометричното отношение, но не и ъгъла, можеш да използваш съответната обратна тригонометрична функция, за да намериш ъгъла. Математическият израз на това е показан по-долу.
При тригонометричните функции аргументите са ъгли, а стойностите са отношения на страните | При обратните тригонометрични функции аргументите са отношения на страните, а стойностите на функциите са ъгли | |
---|---|---|
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction | right arrow | sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction | right arrow | cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction | right arrow | t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
Внимавай да не се подведеш!
Изразът sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis не означава същото като start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Казано по друг начин, minus, 1 не е степенен показател. Тук означава просто обратна функция.
Функция | Графика |
---|---|
sine, left parenthesis, x, right parenthesis | |
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (наричана още \arcsin, left parenthesis, x, right parenthesis) | |
start fraction, 1, divided by, sine, x, end fraction (наричана още c, o, s, e, c, left parenthesis, x, right parenthesis) |
Но има и алтернативен начин за означаване, с който се избягва тази уловка! Можем да изразим обратния синус и като \arcsin, обратния косинус като \arccos, а обратния тангенс като \arctan. Този начин е често срещан в компютърните програмни езици и по-рядко в математиката.
Решаване на уводната задача
В уводната задача са ни дадени дължините на срещулежащия и прилежащия катет, следователно можем да използваме обратната функция на функцията тангенс, за да намерим ъгъла.
Да решим няколко практически примера.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.