Зареждане

Трудна тригонометрична задача: тригонометрични стойности и отношения на страните

Видео транскрипция

Подреди изразите според тяхната стойност. Можеш да сложиш което и да е число в дадено поле или да оставиш полето празно. Имаме ето този чертеж и тези полета с тези изрази. От нас се иска да ги подредим в различни групи. Търсим на колко е равна дължината на отсечката АС върху дължината на отсечката ВС. На кой от тези изрази е равно това отношение? Трябва да го поставим в подходящото поле. За да намеря отговора, аз вече преписах задачата на моята малка черна дъска – мисля, че мога да я нарека така. Това тук е същият чертеж, малко уголемен. Това са изразите, които трябва да подредим. А това са полетата, които ни трябват, за да видим кой от тези изрази на кой отговор съответства. Нека разгледаме първо този. Дължината на отсечката АС върху дължината на отсечката ВС. Да помислим какво представлява АС. Дължината на отсечката АС. АС е това тук. Това е тази дължина тук в лилаво върху дължината на отсечката ВС – върху тази дължина тук. Това е отношението между дължините на две от страните в един правоъгълен триъгълник. Това определено е правоъгълен триъгълник – триъгълник АВС. Ще го оцветя ето така, за да знаем за кой триъгълник говорим. Вниманието ни е насочено върху целия този триъгълник АВС. Разумно е да приемем, че отношението на две страни в един правоъгълен триъгълник ще бъде равно на синус на един от неговите ъгли. Един от ъглите ни е даден ето тук. Даден ни е ето този ъгъл. Казваме си, че единственото, което имаме, е отбелязаният ъгъл. Но, обърни внимание, едната дъга е тук, а другата – тук. Следователно, където и да е дъгата, това ще е ъгъл от 30 градуса. Това също е ъгъл от 30 градуса. Тук имаме две дъги – това е ъгъл от 41 градуса. Две дъги и тук – този ще бъде еднакъв с този. Този тук ще бъде 41 градуса. А тук дъгите са три. Не ни казват колко градуса са това, но този ъгъл, означен с трите дъги, е еднакъв с този тук ъгъл, също означен с трите дъги. Както и да е, в жълтия триъгълник АВС знаем, че мярката на този ъгъл е 30 градуса. Дадени са ни и тези две страни. Какво е отношението на тези страни към ъгъла от 30 градуса? Страната АС е прилежащият катет. Това е едно от рамената на ъгъла, което не е хипотенузата. Нека го запиша. Това е прилежащият катет. А какво представлява ВС? ВС е хипотенузата на този правоъгълен триъгълник. Това е страната, разположена срещу ъгъла от 90 градуса. Това е хипотенузата. Коя тригонометрична функция, приложена към ъгъл от 30 градуса, дава отношението на прилежащия катет към хипотенузата? Нека си припомним дефинициите за тригонометрични функции. Синус на един ъгъл е срещулежащ върху хипотенуза, косинус на ъгъл е прилежащ към хипотенуза. Следователно косинус – ще го запиша – косинус от 30 градуса ще бъде равен на дължината на прилежащия катет – АС върху дължината на хипотенузата – ВС. Следователно това тук е всъщност косинус от 30 градуса. Нека го поставим там. Това е равно на косинус от 30 градуса. Да разгледаме следващото. Косинус от ъгъл DEC. Къде е DEC? Ъгъл DEC – D, E, C. Този ъгъл ето тук. Ще го отбележа с четири дъги, за да не се объркаме. Това е ъгъл DEC. Колко е косинус от DEC? Още веднъж – косинус е прилежащ върху хипотенуза. Косинус от ъгъл DEC. Прилежащият катет е ето това тук. Може би ще попиташ: а не е ли това прилежащият катет? Не, тази страна, страната DE, е хипотенузата. Това няма да бъде прилежащият катет. Прилежащият катет е страната ЕС. Това е дължината на отсечката ЕС. А хипотенузата е ето това тук. Дължината на хипотенузата е страната DE или ED – както предпочиташ да я наречеш. Нейната дължина е... Можем да я обозначим като DE. И на колко е равна тя? Не виждаме този вариант тук. Отношението EC върху DE не е сред нашите варианти тук. Но това, което имаме, е един от ъглите. Дадено ни е, че той е 41 градуса. А отношението на тази зелена страна... Дължината на тази зелена страна върху оранжевата страна – на колко ще бъде равно, ако искаме да приложим тригонометрична функция към този ъгъл? По отношение на този ъгъл зелената страна е срещулежащият катет, а оранжевата страна е хипотенузата. По отношение на 41 градуса... Нека го запиша. По отношение на 41 градуса отношението е срещулежащ към хипотенуза. Това е косинусът от този ъгъл, но и синус от този ъгъл тук. Синус е срещулежащ към хипотенуза. Следователно това е равно на синусът от този ъгъл тук. Равно е на синус от 41 градуса. Следователно имаме ето това тук. Синус от 41 градуса. Нека го поставим в подходящото поле. Синус от 41 градуса е същото като косинус от ъгъл DEC. Остават ни само две. Сега трябва да намерим синус от ъгъл CDA. Да видим – кой ъгъл е CDA? CDA е този целият ъгъл. Това е целият този ъгъл. Мога да го означа с няколко дъги, за да покажа, че той е различен от всички останали. Това е този ъгъл ето тук. Следователно сега работим с този голям правоъгълен триъгълник. Нека го оцветя в розово. Работим с този голям правоъгълен триъгълник ето тук. Интересува ни синус от това цялото нещо. Запомни: синус е отношението срещулежащ към хипотенуза. Срещулежащ към хипотенуза. Срещулежащият катет ще бъде страната СА. Следователно ще стане: дължината на СА върху хипотенузата AD. Върху AD Това ще бъде върху AD. Отново, това не е сред нашите варианти. Но може би това отношение е тригонометрична функция, приложима към някой от другите ъгли. Даден ни е един от ъглите. Даден ни е този ъгъл тук. Можем да го наречем DAC. Той е 30 градуса. Спрямо този ъгъл, отношението на кои две страни взимаме? Спрямо този ъгъл, взимаме отношението на прилежащия катет към хипотенузата. Това е прилежащият катет към хипотенузата. Кое е това отношение? Косинус. Следователно това е равно на косинус от този ъгъл. Равно е на косинус от 30 градуса. Синус от CDA е равен на косинус от този ъгъл ето тук. Следователно това е равно на ето това. Нека да поставя и това. Това е равно на това – виждаш, че току-що го поставих. Остава ни още едно. Имаме още едно. Вече трябва да се вълнуваме. AE върху EB. AE... Нека използвам този цвят. Дължината на отсечката AE. Това е тази дължина тук. Нека го направя да се вижда по-добре. Нека го оцветя в червено. Отсечката в този цвят – това е дължината на отсечката АЕ, върху дължината на отсечката EB. Върху EB. Това тук е EB. Това е ЕВ. Вниманието ни сега е насочено към този правоъгълен триъгълник тук. Знаем мярката на този ъгъл тук. Имаме две дъги, което означава, че това е ъгъл от 41 градуса. Имаме двойно маркиране тук и това също ще бъде 41 градуса. Спрямо този ъгъл какво отношение е това? Това е срещулежащият катет към хипотенузата. Срещулежащият катет към хипотенузата ето тук ще бъде равно на синуса на този ъгъл – синус от 41 градуса. Следователно е равно на първото. Да го поставим. Това ще бъде равно на синус от 41 градуса. Нито едно не се оказа равно на тангенс от 41 градуса. Да видим дали го направихме правилно. Надявам се, че да. Да, правилно е.