Основно съдържание

Гимназиална геометрия

Курс: Гимназиална геометрия > Раздел 5

Урок 4: Тригонометрични отношения в правоъгълен триъгълник

Отношенията на страните в правоъгълния триъгълник като функция от ъглите

Отношенията на дължините на страните в един правоъгълен триъгълник са зависими от мерките на ъглите в триъгълника.

Когато изучавахме еднаквост на триъгълници, казахме, че когато знаем мерките на две двойки съответни страни и дължините на страните, заключени между тях (първи признак за еднаквост на триъгълници), това е достатъчно основание за нас да сме сигурни, че всички съответни двойки страни и ъгли са равни помежду си.

Как е възможно това? Дори когато използваме питагоровата теорема, трябва да знаем дължините на две страни, за да намерим дължината на третата страна. В тази статия ще направим първите стъпки по посока на обяснението защо мерките на ъглите и дължините на страните ни дават информация едни за други, когато разглеждаме някои специални правоъгълни триъгълници.

Това е страхотна възможност да работите заедно с един или двама приятели/ки. Целта на тази статия е да се откриват и обсъждат закономерности, а не да се заровим в пресмятания. Опитай се да разделиш работата, така че да ти остане повече време да дискутираш това, което виждаш!

Да потърсим зависимости

Първо да съберем някои данни за множество от триъгълници.

Каква се отнасят помежду си четирите триъгълника?

Триъгълниците са

съгласно

за подобие на триъгълници.

Таблица с размери

Ето отново същите триъгълници.

Допълни в таблицата мерките, съответстващи на angle, A.

[Припомни ми кои страни в правоъгълния триъгълник са срещулежащ катет, прилежащ катет и хипотенуза.]

	triangle, A, B, C	triangle, A, D, E	triangle, A, F, G	triangle, A, H, I
Дължина на срещулежащия катет	6	9	12	15
Дължина на прилежащия катет	8	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	16	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Дължина на хипотенузата	10	15	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	25
Ъгъл A	37, degree	37, degree	37, degree	37, degree
Прав ъгъл	90, degree	90, degree	90, degree	90, degree
Третия ъгъл	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text degree	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text degree	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text degree	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text degree

[Покажи ми таблицата с размерите.]

Сега можем да започнем да проверяваме данните за закономерности.

Таблица с отношения

Попълни таблицата с отношенията.
Закръглявай до втория знак след десетичната запетая.

	triangle, A, B, C	triangle, A, D, E	triangle, A, F, G	triangle, A, H, I
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като 6 несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5 несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4 смесено число като 1, space, 3, slash, 4 точна десетична дроб като 0, point, 75 кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[Покажи ми таблицата с отношенията.]

Какво забелязваш?

[Сподели с твоя съученик/чка какво забеляза първо, после погледни тук.]

Доказателство, че тази закономерност се отнася и за други мерки на ъглите

Доказателство

Довърши доказателството, че start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction.

	Твърдение	Основание
1	angle, A, \cong, angle, F	Всички прави ъгли са равни помежду си.
2	angle, B, \cong, angle, E	Дадено
3	triangle, A, B, C, \sim, triangle	за подобие на триъгълници
4	start fraction, A, C, divided by, F, D, end fraction, equals, start fraction, B, C, divided by, E, D, end fraction	Отношенията на дължините на съответните страни в подобни триъгълници са равни.
5	start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction	Умножаваме двете страни по .

Заключение от доказателството

Какво доказахме?

(Избор А)
Отношението start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction е еднакво за двата триъгълника.
(Избор Б)
Отношението start fraction, start text, o, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction е равно за двата триъгълника.

За какви триъгълници доказахме това?

(Избор А)
Всички триъгълници
(Избор Б)
Всички правоъгълни триъгълници
(Избор В)
Всички правоъгълни триъгълници, които имат двойка съответно равни остри ъгли
(Избор Г)
Само за триъгълниците triangle, A, B, C и triangle, D, E, F

До какво заключение достигнахме?

Ако два правоъгълни триъгълника имат съответно равни двойка остри ъгли, те са подобни съгласно първи признак за подобие. Отношенията на съответните страни в триъгълниците са равни. Следователно отношението на дължините на страните на правоъгълен триъгълник зависи само от мярката на един остър ъгъл.

С какво ни е полезно това?

Преди с помощта на питагоровата теорема можехме да намерим дължината на третата страна в правоъгълен триъгълник, за който знаем дължините на двете други страни. Сега можем да намерим връзка между мерките на ъглите и дължините на страните на правоъгълен триъгълник. Това ни позволява да намерим дължините на двете страни, когато знаем дължината само на едната страна и мярката на един остър ъгъл. Можем даже да намерим мярката на острия ъгъл в правоъгълния триъгълник въз основа само на дължините на две от страните.

Продължение 1.1

Електричен ток

Като знаем мярката на острия ъгъл в един правоъгълен триъгълник, можем да определим отношенията на дължините на страните в триъгълника по отношение на този ъгъл.

Това са приблизителните отношения за ъгли с мярка 25, degree, 35, degree и 45, degree.

Ъгъл	25, degree	35, degree	45, degree
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction	0, comma, 91	0, comma, 82	0, comma, 71
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction	0, comma, 42	0, comma, 57	0, comma, 71
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction	0, comma, 47	0, comma, 7	1

Използвай таблицата, за да определиш приблизително m, angle, J за дадения по-долу триъгълник.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.