If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Отношенията на страните в правоъгълния триъгълник като функция от ъглите

 Отношенията на дължините на страните в един правоъгълен триъгълник са зависими от мерките на ъглите в триъгълника.
Когато изучавахме еднаквост на триъгълници, казахме, че когато знаем мерките на две двойки съответни страни и дължините на страните, заключени между тях (първи признак за еднаквост на триъгълници), това е достатъчно основание за нас да сме сигурни, че всички съответни двойки страни и ъгли са равни помежду си.
Как е възможно това? Дори когато използваме питагоровата теорема, трябва да знаем дължините на две страни, за да намерим дължината на третата страна. В тази статия ще направим първите стъпки по посока на обяснението защо мерките на ъглите и дължините на страните ни дават информация едни за други, когато разглеждаме някои специални правоъгълни триъгълници.
Това е страхотна възможност да работите заедно с един или двама приятели/ки. Целта на тази статия е да се откриват и обсъждат закономерности, а не да се заровим в пресмятания. Опитай се да разделиш работата, така че да ти остане повече време да дискутираш това, което виждаш!

Да потърсим зависимости

Първо да съберем някои данни за множество от триъгълници.
Каква се отнасят помежду си четирите триъгълника?
Триъгълниците са
съгласно
за подобие на триъгълници.

Таблица с размери
Ето отново същите триъгълници.
triangle, A, B, Ctriangle, A, D, Etriangle, A, F, Gtriangle, A, H, I
Дължина на срещулежащия катет691215
Дължина на прилежащия катет8
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
16
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
Дължина на хипотенузата1015
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
25
Ъгъл A37, degree37, degree37, degree37, degree
Прав ъгъл90, degree90, degree90, degree90, degree
Третия ъгъл
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree

Сега можем да започнем да проверяваме данните за закономерности.
Таблица с отношения
Попълни таблицата с отношенията.
Закръглявай до втория знак след десетичната запетая.
triangle, A, B, Ctriangle, A, D, Etriangle, A, F, Gtriangle, A, H, I
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Какво забелязваш?

Доказателство, че тази закономерност се отнася и за други мерки на ъглите

Доказателство
Довърши доказателството, че start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fraction.
ТвърдениеОснование
1angle, A, \cong, angle, FВсички прави ъгли са равни помежду си.
2angle, B, \cong, angle, EДадено
3triangle, A, B, C, \sim, triangle
за подобие на триъгълници
4start fraction, A, C, divided by, F, D, end fraction, equals, start fraction, B, C, divided by, E, D, end fractionОтношенията на дължините на съответните страни в подобни триъгълници са равни.
5start fraction, A, C, divided by, B, C, end fraction, equals, start fraction, F, D, divided by, E, D, end fractionУмножаваме двете страни по
.

Заключение от доказателството
Какво доказахме?
Избери един отговор:
За какви триъгълници доказахме това?
Избери един отговор:

До какво заключение достигнахме?

Ако два правоъгълни триъгълника имат съответно равни двойка остри ъгли, те са подобни съгласно първи признак за подобие. Отношенията на съответните страни в триъгълниците са равни. Следователно отношението на дължините на страните на правоъгълен триъгълник зависи само от мярката на един остър ъгъл.

С какво ни е полезно това?

Преди с помощта на питагоровата теорема можехме да намерим дължината на третата страна в правоъгълен триъгълник, за който знаем дължините на двете други страни. Сега можем да намерим връзка между мерките на ъглите и дължините на страните на правоъгълен триъгълник. Това ни позволява да намерим дължините на двете страни, когато знаем дължината само на едната страна и мярката на един остър ъгъл. Можем даже да намерим мярката на острия ъгъл в правоъгълния триъгълник въз основа само на дължините на две от страните.
Продължение 1.1
  • Електричен ток
Като знаем мярката на острия ъгъл в един правоъгълен триъгълник, можем да определим отношенията на дължините на страните в триъгълника по отношение на този ъгъл.
Това са приблизителните отношения за ъгли с мярка 25, degree, 35, degree и 45, degree.
Ъгъл25, degree35, degree45, degree
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction0, comma, 910, comma, 820, comma, 71
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, т, а, end text, end fraction0, comma, 420, comma, 570, comma, 71
start fraction, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, divided by, start text, д, ъ, л, ж, и, н, а, space, н, а, space, п, р, и, л, е, ж, а, щ, и, я, space, к, а, т, е, т, end text, end fraction0, comma, 470, comma, 71
Използвай таблицата, за да определиш приблизително m, angle, J за дадения по-долу триъгълник.
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.