If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:11:46

Видео транскрипция

В това видео искам да изведем формула за дължината на кривата, която е дефинирана чрез полярни координати. Това е графиката на функцията r = f(θ). Как ще намерим дължината на кривата между две стойности на тита, да кажем между θ равно на... например, да вземем между радиуса при θ = 0 и да кажем, радиуса при θ = π/2, но да обобщим за всеки две граници на r(θ). Начинът, по който ще го направим, ако в някакъв момент те връхлети вдъхновението, определено можеш да спреш видеото и да опиташ да намериш формулата за дължината на кривата, когато имаме полярни координати. Начинът, по който ще решим това, е точно същият, като начинът, по който намерихме дължината на кривата със стандартни правоъгълни координати. Да вземем един малка част от тази дължина на кривата, един много малък отрязък, който аз ще увелича. нека да е този ето тук, това е нашият безкрайно малък, много, много малък отрязък от дължината на кривата, който ще означим с ds. Очевидно, че на чертежа е доста голям, но се надявам, че можеш да си го представиш, когато казваме, че е безкрайно малък, и после, ако интегрираме всички тези ds, ако интегрираме всички ds, тогава ще получим дължината на действителната крива, която ни интересува. Да кажем, че това е дължината, която е равна на интегрирани всички ds, всички тези... сбора от безкрайно много такива безкрайно малки ds. Обаче, за да свържем това с радиуси и ъгли тита, първо ще представя тези хиксове и игреци, после ще свържа r и тита с х и у, което вече сме правили, преминаване между полярни и правоъгълни координати. Знаем, че това ds ще бъде равно на безкрайно малката промяна на х, на квадрат. Ако тук преминаваме от тази точка до тази точка, това е промяната в дължината на кривата. Това разстояние тук, може да се представи като промяната в х, ще го запиша като dx, ще запиша всичко като диференциали, което е малко, от математическа гледна точка, бих казал, че е малко не особено издържано, но ни дава добра представа какво се случва тук и откъде идва това. Ако искаме да сме малко по-прецизни, можем да вземем dx, можем да запишем делта х, и после да намерим границите и всичко останало, но аз ще спра дотук, защото това за мен, за моя мозък, е достатъчно логично. Значи това е нашата промяна на х, когато отиваме от тази точка до тази точка. Това е промяната на у, когато отиваме от тази точка до тази точка, dу. И вече сме правили това, когато намирахме дължината на крива чрез правоъгълни координати, казахме, че това ds ще бъде равно на квадратен корен от dx на квадрат, плюс dy на квадрат, което следва от питагоровата теорема. Плюс dy на квадрат, и после можем да интегрираме това, което е почти същото нещо. Но как да изразим тези чрез r и θ? За да го направим, просто трябва да си припомним как да изразим х чрез r и θ, и как да изразим у чрез r и θ. Знаем, че х е равно на r по косинус тита, което видяхме за пръв път, когато преминавахме между полярни и правоъгълни координати. у ще е равно на r по синус от тита. И сега можем да използваме това, за да кажем колко ще бъдат dx и dy. dx ще бъде равно на, като трябва да си спомним, че r е функция от тита, така че всъщност ще представя това по различен начин. Можем да напишем, че х = f(θ)cos(θ), а у = f(θ)sin(θ). Сега на колко е равно dx? Ще приложим правилото за производна от произведение. Това ще стане f'(θ), производната на първия израз, по втория, по cos(θ), плюс производната на втората част. Производната на косинус от тита е равна на минус синус от тита. Минус синус от тита по първия израз, по f(θ), просто прилагаме правилото за производна на произведение, по нашето dx. И накрая, естествено, dθ. Друг начин, по който можем да изразим това, ако го разглеждаме тези диференциали като числа, можем да разделим двете страни на dθ, и ще получим производната на х спрямо θ е равна на това ето тук, така че тези изрази са еквивалентни. Същото правим и за dy. dу, отново прилагаме правилото за производна на произведение, ще бъде равно на f'(θ) по синус от тита плюс f(θ) по производната на синус от тита, което е косинус от тита. Косинус от тита, и сега искаме да намерим колко е ds, ще трябва да намерим сбора от (dx)^2 и (dy)^2, да го направим. (dx)^2 е равно на... трябва да повдигнем това на квадрат, а след това да го умножим по (dθ)^2, което ще бъде равно на, това ще бъде (f'(θ))^2, косинус от тита, на квадрат, минус 2 по произведението на тези, минус 2f'(θ).f(θ).cos(θ).sin(θ), и после това на квадрат, като отрицателно по отрицателно дава положително, плюс (f(θ))^2 . (sin (θ))^2. Това е dx на квадрат, а после, имаме dθ, още не сме свършили, после имаме dθ на квадрат, и сега да видим колко е dy на квадрат. dy на квадрат ще бъде равно на... Този член на квадрат, забравих, това dy трябва да има dθ накрая, да не го забравяме. Това тук ще бъде (f'(θ))^2, синус на квадрат, синус от тита, на квадрат, и после две по произведението на тези, значи плюс два пъти f'(θ) . f(θ), това стана доста претрупано, но след малко ще видим как хубаво ще се опрости. f(θ), косинус тита, синус тита, и после ще повдигнем това на квадрат плюс (f(θ))^2 по косинус на квадрат от тита, и после dθ на квадрат. И сега да съберем тези два израза. Да ги съберем и какво ще получим? Ако съберем dx на квадрат и dy на квадрат, ще получим (dx)^2 + (dy)^2 е равно на... Тук имаме косинус на квадрат от тита, по (f'(θ))^2 и после синус на квадрат по (f'(θ))^2. Можем да изнесем пред скоби (f'(θ))^2, и ще получим, че е равно на... ако изнесем това пред скобите, ще стане (f'(θ))^2 по косинус на квадрат от тита, плюс синус на квадрат от тита. Това ще се опрости много хубаво, това е равно на едно, това е едно основно тригонометрично тъждество. Тези двата члена в средата практически се унищожават, това е това със знак минус, двете се унищожават и после ето тук можем да изнесем пред скоби (f(θ))^2. Ще получим (f(θ))^2 по синус на квадрат от тита, плюс косинус на квадрат от тита, Това се опрости много хубаво. Това ще бъде равно на 1. После имаме тези и после това dθ на квадрат, което е умножено по всичко. Значи всичко тук ще стане, по dθ на квадрат. Можеш да разглеждаш тези като коефициенти на (dθ)^2 и събираме тези два коефициента. Това ще се опрости хубаво сега, това се опростява до (dx)^2 + (dy)^2, което е равно на (f'(θ))^2 плюс (f(θ))^2. Всичко това е умножено по... всъщност ще взема нов цвят. Всичко това по (dθ)^2. Всъщност вече използвах този цвят. Ще използвам цикламено. Всичко това по (dθ)^2. Сега видяхме, че ds ще бъде равно на квадратен корен от това, ще го запиша, значи ds е равно на квадратен корен от това, което е равно на квадратен корен от това. Което ще е равно на... можем да изнесем пред скоби... квадратен корен от (dθ)^2 ще бъде равно на d(θ), това можем да го изнесем пред скоби. И ни остана само (f'(θ))^2 плюс (f(θ))^2. Сега изнасяме dθ от корена, ако вътре е (dθ)^2, когато го изнесем от корена, става dθ. Това е интересно, така че ако искаме да интегрираме това или да интегрираме това, просто ще интегрираме това тук. Ще го интегрираме от началния ъгъл тита, примерно от ъгъл алфа, до крайния ъгъл тита, да кажем, че той е бета. И така получихме добро доказателство, надявам се, че е теоретично разбираемо, формулата за дължината на кривата, когато работим с полярни координати. Ако имаме r = f(θ), установихме, че f'(θ), или можем да го разглеждаме като производната на r спрямо θ, подвигаме я на квадрат и и я събираме с това (f(θ))^2, намираме квадратния корен и после интегрираме спрямо тита от алфа до бета. Така дължината на тази крива ще бъде равна на това тук. В следващите видеа ще използваме това на практика.