Основно съдържание
Курс: Интегрално смятане > Раздел 4
Урок 1: Дължина на дъга: параметрични кривиРешен пример: дължина на параметрична крива
Намиране на дължината на параметричната крива 𝘹=cos(𝑡), 𝘺=sin(𝑡) от 𝑡=0 до 𝑡=π/2 с помощта на формулата за дължина на дъга при параметрична крива.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека х е функция от
параметъра t и е равна на cos(t), а у също е дефинирана
като функция от t и е равна на sin(t). Търсим дължината на
кривата, която се определя от, значи дължината на кривата
от t = 0 до t= 2. Спри видеото и опитай
самостоятелно, като използваш формулите,
които видяхме в предходните уроци. Първо ще разгледам формулата, а после ще я визуализирам, за да оценим логиката
на извеждането на формулата. Според формулата
дължината на тази параметрична крива дължината на кривата
е равна на интеграл от началната точка
на параметъра t = а до крайната точка н а параметъра, t = b от квадратен корен
от производната на х спрямо t, на квадрат, плюс производната на у спрямо t,
на квадрат, dt. Можем да преработим това
като равно на интеграл от a до b от квадратен корен от dx/dt
на квадрат плюс dy/dt на квадрат, dt. Но и по двата начина можем
да я използваме за нашия случай. Колко е dx/dt? dx/dt е равно на
производната на косинус от t, равно е на минус синус от t, а колко е dy/dt? Производната на у спрямо t. Производната на sin(t) е равна
на cos(t). Значи дължината на кривата
ще бъде равна на интеграл от t= 0 до t = π/2, което ни интересува, нашият параметър от 0 до π/2 от квадратен корен от производната на х спрямо t
на квадрат. Това е минус sin (t) на квадрат, когато повдигаме на квадрат,
минусът изчезва, и имаме минус синус
по минус синус, значи получаваме
плюс синус на квадрат. Ще го запиша като
sin(t) на квадрат, после dy/dt на квадрат, това е просто cos(t) на квадрат, плюс cos(t) на квадрат. И накрая тук имаме dt. За наш късмет синус на квадрат
плюс косинус на квадрат от някаква променлива
винаги е равно на 1. Това е от основните
тригонометрични тъждества, следва директно от определението
за синус и косинус в единичната окръжност. Така получаваме
квадратен корен от 1, корен квадратен от 1 е просто 1. Значи всичко се опростява до интеграл от 0 до π/2, dt. Това ще бъде равно на, можеш да видиш тук,
това тук е едно, примитивната функция на
1 спрямо t ще бъде t. Ще сметнем това за π/2 и после ще извадим това, което
ще изчислим за 0. Това ще бъде равно
на π/2 – 0, значи остава π/2. Сега да помислим какво
означава това. Хайде да начертаем кривата. Това е оста у,
а това е оста х. Когато t е равно на нула, имаме х(0), което е
косинус от нула, х е равно на 1. За у, синус от нула е просто нула, значи у е равно на нула. Значи сме в тази точка, при t = 0, а после t нараства до π/2. Движим се в
горния десен квадрант на единичната окръжност, и попадаме ето тук, когато t е равно на π/2. Можем да разглеждаме t
в този случай като някакъв вид ъгъл
в радиани. И така дължината е просто една четвърт от единичната
окръжност. Знаем колко е обиколката
на окръжността, тя е 2πr. В случая с единичната окръжност
радиусът е единица, така че обиколката на
цялата окръжност е 2π. 1/4 от това е равна на π/2. Чудесно е, че с помощта
на анализа получаваме отговор, който съответства на това, което
сме учили в геометрията.