If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: дължина на параметрична крива

Намиране на дължината на параметричната крива 𝘹=cos(𝑡), 𝘺=sin(𝑡) от 𝑡=0 до 𝑡=π/2 с помощта на формулата за дължина на дъга при параметрична крива.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека х е функция от параметъра t и е равна на cos(t), а у също е дефинирана като функция от t и е равна на sin(t). Търсим дължината на кривата, която се определя от, значи дължината на кривата от t = 0 до t= 2. Спри видеото и опитай самостоятелно, като използваш формулите, които видяхме в предходните уроци. Първо ще разгледам формулата, а после ще я визуализирам, за да оценим логиката на извеждането на формулата. Според формулата дължината на тази параметрична крива дължината на кривата е равна на интеграл от началната точка на параметъра t = а до крайната точка н а параметъра, t = b от квадратен корен от производната на х спрямо t, на квадрат, плюс производната на у спрямо t, на квадрат, dt. Можем да преработим това като равно на интеграл от a до b от квадратен корен от dx/dt на квадрат плюс dy/dt на квадрат, dt. Но и по двата начина можем да я използваме за нашия случай. Колко е dx/dt? dx/dt е равно на производната на косинус от t, равно е на минус синус от t, а колко е dy/dt? Производната на у спрямо t. Производната на sin(t) е равна на cos(t). Значи дължината на кривата ще бъде равна на интеграл от t= 0 до t = π/2, което ни интересува, нашият параметър от 0 до π/2 от квадратен корен от производната на х спрямо t на квадрат. Това е минус sin (t) на квадрат, когато повдигаме на квадрат, минусът изчезва, и имаме минус синус по минус синус, значи получаваме плюс синус на квадрат. Ще го запиша като sin(t) на квадрат, после dy/dt на квадрат, това е просто cos(t) на квадрат, плюс cos(t) на квадрат. И накрая тук имаме dt. За наш късмет синус на квадрат плюс косинус на квадрат от някаква променлива винаги е равно на 1. Това е от основните тригонометрични тъждества, следва директно от определението за синус и косинус в единичната окръжност. Така получаваме квадратен корен от 1, корен квадратен от 1 е просто 1. Значи всичко се опростява до интеграл от 0 до π/2, dt. Това ще бъде равно на, можеш да видиш тук, това тук е едно, примитивната функция на 1 спрямо t ще бъде t. Ще сметнем това за π/2 и после ще извадим това, което ще изчислим за 0. Това ще бъде равно на π/2 – 0, значи остава π/2. Сега да помислим какво означава това. Хайде да начертаем кривата. Това е оста у, а това е оста х. Когато t е равно на нула, имаме х(0), което е косинус от нула, х е равно на 1. За у, синус от нула е просто нула, значи у е равно на нула. Значи сме в тази точка, при t = 0, а после t нараства до π/2. Движим се в горния десен квадрант на единичната окръжност, и попадаме ето тук, когато t е равно на π/2. Можем да разглеждаме t в този случай като някакъв вид ъгъл в радиани. И така дължината е просто една четвърт от единичната окръжност. Знаем колко е обиколката на окръжността, тя е 2πr. В случая с единичната окръжност радиусът е единица, така че обиколката на цялата окръжност е 2π. 1/4 от това е равна на π/2. Чудесно е, че с помощта на анализа получаваме отговор, който съответства на това, което сме учили в геометрията.