Площ, ограничена от криви (полярни координати)

Вече натрупахме доста опит в намирането на площ под крива, когато работим в правоъгълна координатна система. Видяхме, че съставяме Риманови суми, множество правоъгълници, като намираме границата, когато имаме безкраен брой от безкрайно тънки правоъгълници и така можем да намерим площта. Сега ще работим с полярни координати. При полярните координати няма да кажа, че ще намираме площта под кривата, а всъщност в този пример ето тук имаме част от графиката на функцията r = f(θ), която е начертана между θ = α и θ = β. В това видео искам да изведем общ израз за тази област в синьо. Тази област е ограничена, ако мога да се изразя така, от тези ъгли на графиката на функцията r = f(θ). Искам да намериш, поне да опиташ да намериш, да съставиш израз самостоятелно, но първо ще дам малка подсказка. Когато работим с правоъгълни координати, разделяме нещата на правоъгълници. Тук правоъгълниците не изглеждат очевидно решение, защото те един вид излизат от тази точка, но можем да разделим това на сектори или нещо като парчета пай или торта. Някой сериозно ремонтира на долния етаж. Не знам дали достига до микрофона. Няма значение, ще продължа. Какво ще стане, ако разделим тази област на голям брой от тортени парчета и после намерим границата, ако имаме безкраен брой такива парчета от торта. Ще намерим площта на всяко от тези парчета торта, а после ще намерим границата, когато тези парчета торта стават безкрайно тънки и броят на парчетата е безкрайно голям. Ще дам още една подсказка за намирането на площта на тези парчета, на тези резени торта или пай. Ще ти дам още една подсказка – ако тук имаме кръг, ще се постарая да направя хубав кръг. За късмет ремонтът или каквото беше там на долния етаж спря и сега мога да се концентрирам по-добре върху анализа, което е много важно. Ако имаме кръг, това е най-добрият ми опит да начертая кръг, ако неговият радиус е r, сега ще направя един сектор от този кръг. Това е сектор от кръга, това очевидно също е r. Ако този ъгъл тук е тита, колко ще бъде площта на този сектор? Това е моята подсказка, помисли колко е тази площ, като ще приемем, че ъгъл тита е в радиани. Помисли колко ще е тази площ и после виж дали можеш да приложиш това за цялата тази област, която търсим, като ще ти дам и още една подсказка. С използване на интегриране опитай да намериш израз за тази площ. Надявам се, че направи опит. Сега първо да помислим колко е площта на целия кръг, ние знаем това, естествено. Лицето е πr^2, формулата за лице на кръг. А после колко ще бъде площта на това? Тя е част от кръга. Ако това е π, ако това е тита, ако отиваме от 2π радиана, колкото е целият кръг, значи това ще бъде тита върху 2π от кръга. Значи по θ/2π е равно на площта на този сектор. Лицето на целия кръг по частта от кръга, която дефинирахме, или която представлява този сектор. Това ще ни даде – тези π се съкращават, и ще получим 1/2r^2 по ъгъл тита. А какво ще стане, ако вместо ъгъл тита... да видим всяко от тези парчета тук. Всяко от тези, които съм начертал, но да вземем едно от тези парчета. Ще го оцветя в оранжево. Тук вместо ъгъл тита, ще имаме един много, много малък ъгъл. Ще използваме диференциал, въпреки че това е малко енигматична математика, но важното е, че това ни помага да си го представим. Мога да го означа като делта тита и после можем да намерим границата, когато делта тита клони към нула. Това е само за да си го представим, когато имаме безкрайно малък ъгъл или безкрайно малка промяна на ъгъла, нека да я означим с dθ, и радиусът тук е – можем да приемем, че е тази дължина ето тук. Можеш да го приемеш като радиус, поне за тази част от кривата ето тук. И тук r е функция от θ, отиваме ето тук, но ще наречем това нашият радиус r ето тук. Каква е площта на този малък сектор? За да намерим площта на този малък сектор, вместо ъгъл тита, ще вземем ъгъл делта тита, този диференциал. Вместо 1/2r^2, тук ще стане... Ще взема цвят, който да се вижда добре. Тази площ ще бъде равна на 1/2r^2.dθ. Обърни внимание, че ъгълът тук беше тита, а тук ъгълът е делта тита, този много, много малък ъгъл. Ако искам да събера всички тези, от θ = α до θ = β, като имаме безкрайно голям брой такива сектори с такъв безкрайно малък ъгъл, тогава за цялата тази област ето тук, мога да интегрирам всички тези. Това ще бъде интеграл от алфа до бета от 1/2r^2.dθ, като разбира се, r е функция от θ. Даже може да го напишеш така, може да го напишеш като интеграл от алфа до бета от 1/2(r(θ))^2.dθ, само да си припомним, че r е функция от ъгъл тита в този случай.