Решен пример: Площ между две криви, дефинирани с полярни координати

Имаме графиките на две криви, зададени в полярни координати. r = 3sin(θ) и r = 3cos(θ). Търсим площта, която е оцветена в синьо. Това е един вид припокриване на тези два кръга. Препоръчвам ти да спреш видеото и да опиташ да го решиш самостоятелно. Предполагам, че опита. Интересното тук е, че областта е оградена от графиките на две различни функции. Те изглежда, че се пресичат точно ето тук. Ако го преценя на око, изглежда, че се пресичат при θ = π/4, което можем да проверим. Косинус от π/4 е равен на синус от π/4, значи в този случай тези двете ще са равни помежду си. Точката на пресичане е точно при π/4. Ако това не ти се струва очевидно, просто приравни тези два израза и намери за кои ъгли тита са равни, кога се случва това, но тук изглежда много очевидно. Значи това е при тита равно на π/4. Основното е да разбереш, че когато тита е между 0 и π/4, се намираме в червения кръг, оградени сме от r = 3sin(θ). После между π/4 до π/2 сме оградени от черната окръжност, оградени сме от r = 3 cos(θ). Така че можем да разделим областта на тези две подобласти. Това е първата област тук, за която вече знаем, че е равна на 1/2 от определен интеграл от 0 до π/4 от функцията, от чиято графика е оградена, от 3 по синус от тита, това е на квадрат, и умножено по dθ. Това е тази розова област. После тази синя област ето тук е 1/2 от определения интеграл, като сега границите са от π/4 до π/2 от 3 косинус от тита, на квадрат, по dθ. Това е ето тази област. Сега може би ти хрумва, че това е една и съща площ. Двата кръга са симетрични спрямо тази права. Тита е равно на π/4. Значи тези две площи са равни.. Единият начин е просто да намерим едното от тези и да умножим по две, тогава ще получим цялата площ, която ни интересува. Цялата площ, можеш да провериш това, ако искаш, но аз ще кажа просто, че цялата тази площ, просто ще умножа по две ето това тук. Значи цялата площ е два пъти по това, този оранжевият израз, като ще изчисля определен интеграл от 0 до π/4 от... 9, 3 на квадрат е 9, синус от тита по dθ. Можеш да сметнеш това на ръка, можеш да го сметнеш с калкулатор, но хайде да го решим аналитично. Значи синус от тита е равно на 1/2 по (1 – cos(2θ)). Това е тригонометрично тъждество, което сме виждали често в уроците по тригонометрия, но всъщност ще го запиша ето тук. Значи синус на квадрат от тита е равно на 1/2 по (1 – cos(2θ)). Ако заместя това с това, ще получа... ще изнеса пред скоби 1/2, и ще получа 9/2 по определен интеграл от нула до π/4 от (1 – cos(2θ))dθ. Това е равно на 9/2 по примитивната функция на... на 1 е θ, и да видим, косинус от 2θ е равно на минус синус от 2θ върху 2. Ще го напиша като –1/2 по синус от 2θ. Сега можем да интегрираме чрез заместване и ще го направя, но ти може би можеш да го направиш и наум. Можеш да направиш проверка, че производната на синус от 2θ е равно на 2 по косинус от 2θ, и после го умножаваш по –1/2, тук се получава –1. И сега ще го сметнем за π/4 и за 0. Ако го сметнеш за... за наш късмет, когато смятаме това за нула, тук цялото нещо става нула, така че остава да сметнем само за π/4. Това ще бъде равно на 9/2 по π/4 минус 1/2 синус от 2π върху 4, което е π/2, синус от π/2. Синус от π/2 знаем, че е равно на 1, така че за π/4 тук ще бъде просто равно на едно. Получаваме 9/2 по... можем да кажем π/4 минус 1/2 или можем да кажем π/4 минус 2/4. Можем да го запишем така или можем да умножим всичко, или можем да кажем, че ще бъде равно на (9π – 18)/8 и сме готови.