Диференциални уравнения. Въведение

Нека сега се запознаем с идеята на диференциалните уравнения. Както ще видим, диференциалните уравнения са супер полезни за моделиране и симулиране на различни феномени и ни помагат да разберем как работят те. Но ще говорим за това по-късно. Засега нека просто помислим или поне погледнем какво всъщност е едно диференциално уравнение. Ако напиша диференциално уравнение, ако напиша това, втората производна на y плюс два пъти първата производна на y е равно на три пъти у. Това тук е диференциално уравнение. Друг начин да го запишем е у е функция на х. Можем да го запишем като функция. Втората производна на нашата функция относно променливата х плюс два пъти първата производна на нашата функция е равна на три пъти нашата функция. Или ако използваме нотацията на Лайбниц, можем да запишем втората производна на у променливата х плюс два пъти първата производна на у относно х е равна на три пъти у. И трите уравнения изразяват едно и също нещо. Показват ни, че има функции, чиято втора производна, събрана с два пъти първата им производна, дават три пъти себе си. Искам да поясня, че всички тези неща казват едно и също. И ти може би вече се досещаш от начина, по който го описах, че решението на диференциално уравнение е функция, или клас от функции. Не е просто една стойност или набор от стойности. Така че решението тук на диференциалното уравнение е функция, или набор от функции, или клас от функции. Важно е да се разбере разликата с традиционните уравнения. Нека го запиша. Едно традиционен уравнение, може би няма нужда да казвам традиционно уравнение.... Диференциалните уравнения са познати от известно време. Така че нека да запиша това като алгебрично уравнение, с което сте запознати. Едно алгебрично уравнение може да изглежда ето така, и аз просто ще напиша едно квадратно уравнение. Например х^2 + 3х + 2 = 0. Решенията на това алгебрично уравнение ще бъдат числа или набор от числа. Ние може да решим този задача. Значи х плюс два пъти х плюс едно е равно на нула. Така х може да бъде равно на минус две или х х ще е равно на минус едно. Решенията тук са числа или набор от числа, които отговарят на уравнението. Това тук е връзката между функция и производните ѝ. И така решенията или решението ще бъде функция или съвкупност от функции. Сега нека да се опитам да поясня това. Какво би било решението на нещо като тези трите, които наистина представляват едно и също нещо. Как би изглеждало едно решение? Всъщност нека да преместя това малко настрани. Ще го преместя. Така че да можем да разгледаме как биха могли да изглеждат тези решения. Нека да изтрия това. Ето това тук. Сега просто ще ти дам примери за решения. Ще се увериш, че те наистина са решения, защото аз предполагам, че това е наистина само едно диференциално уравнение, представено по различни начини. Но се надявам, че ще разбереш как изглежда решението на диференциално уравнение. И че често е повече от едно решение. Има цял клас от функции, които могат да бъдат решение. Едно решение на това диференциално уравнение, аз ще го напиша като първото. Едно решение, ще го наричаме у едно. И дори може да го напиша като у едно от х за да стане ясно, че е функция на х. Едно решение е у едно от х е равно на неперовото число е на степен минус три х. И аз те насърчавам да поставиш видеото на пауза и да намериш първата производна на у едно, и втората производна на у едно, и да се увериш, че наистина отговарят на това диференциално уравнение. Предполагам, че опита. Нека да преминем през решението заедно. Така, това е у едно. Първата производна на у едно... Можем да използваме правилото за диференциране на сложни функции. Производната на минус три х относно х е минус три. А производната на е на степен минус три х относно минус три х е само е на степен минус три х. И ако вземем втората производна на у едно, имаме същото нещо. Производната на това е три пъти минус три х или общо девет пъти е на степен минус три х. И сега можем просто да заместим тези стойности в диференциалното уравнение или в тези изрази в диференциалното уравнение, за да проверим, че това наистина е вярно за тази функция. Нека да проверим. Първо имаме втората производна на у. Това е този член тук. Имаме минус девет пъти е на степен минус три х плюс два пъти първата производна. Така че ще е два пъти това тук. Така че това ще е минус шест. Аз просто ще пиша минус шест пъти е на степен –3х. Забележи, аз току що взех два пъти първата производна. Два пъти първата производна ще бъде равно на... или трябва да бъде равно на това, ако това наистина е решение, ако у едно наистина е решение на диференциалното уравнение, това трябва да бъде равно на 3у. А 3у е три пъти е на степен –3х. Три пъти е на степен –3х. Да видим дали това наистина е вярно. Така, тези два члена тук са девет пъти е на степен –3х и –6 пъти е на степен –3х, което е три пъти е на степен –3х. Което наистина е равно на три пъти е на степен –3х. Така че у едно наистина е решение на това диференциално уравнение. Но както ще видим, то не е единственото решение на това диференциално уравнение. Например, нека кажем, че у две е равно на е на степен х е също решение на това диференциално уравнение. И аз отново ти препоръчвам да спреш видеото и да се уверии, че това е решение. Да приемем, че го направи. Така, първата производна на това е доста лесна. Тя е равна на е на степен х. Втората производна, едно от важните неща за показателна функция, втората производна тук също е равна на е на степен х. Така, втората производна, нека просто го напиша в същите цветове. Така, втората производна ще бъде е на степен х плюс два пъти е на степен х, което наистина е равно на три пъти е на степен х. Това е изцяло вярно. е^х плюс два пъти е^х е три пъти е^х. Така че у две също е решение на това диференциално уравнение. Това е едно добро начало. В следващите няколко видеа ще разгледаме диференциалните уравнения в повече детайли. Ще започнем да виждаме как изглеждат решенията, какви класове от решения има. Ще разглеждаме техники за решаването им, визуализиране на решения на диференциални уравнения, и цял набор от инструменти, с които ще дълбаем надълбоко в тази област.