Основно съдържание
Курс: Интегрално смятане > Раздел 2
Урок 7: Частни решения на диференциални уравнения- Частни решения на диференциални уравнения: рационална функция
- Частни решения на диференциални уравнения: експоненциална функция
- Частни решения на диференциални уравнения
- Решен пример: намиране на частно решение на уравнение с отделящи се променливи
- Решен пример: уравнение с отделящи се променливи, чието решение е в неявен вид (имплицитно решение)
- Частни решения на диференциални уравнения с отделящи се променливи
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Решен пример: намиране на частно решение на уравнение с отделящи се променливи
Решаване на ДУ с отделящи се променливи при дадени начални условия. Уравнението в това видео е dy/dx=2y² с y(1)=1.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Сега да се поупражняваме
с диференциални уравнения с отделящи се променливи.
Дадено е това уравнение: производната на Y спрямо Х
е равна на 2 по Y на квадрат,
и нека графиката на едно нейно решение минава през точката (1;-1). Пита се колко е Y,
когато Х е равно на 3 за това конкретно решение на
диференциалното уравнение, което минава през точката (1;-1)? Търсим Y при Х = 3. Приканвам те да оставиш
видеото на пауза и да опиташ самостоятелно. Предполагам, че вече
направи своя опит. Най-важното при диференциалните
уравнения с отделящи се променливи е, че те ни дават подсказка
още в самото си име: че можем да отделим хиксовете
от игреците. Всички членове с Х и DX
се отделят от тези с Y и DY. Как да направим това тук? Нека преработя уравнението. То е DY / DX равно на
2 по Y на квадрат. Да видим, можем да умножим
двете страни по DX. Отляво знаменателят
се унищожава, ако работим с диференциала
като с обикновена променлива. Получаваме DY равно на
2 по Y на квадрат по DX. Още не сме напълно готови. Искам да преместя този член:
2 по Y на квадрат, от лявата страна. Правя го, като разделя двете страни
на 2 по Y на квадрат. Като разделя двете страни на 2y^2
ще мога да запиша лявата страна като
1/2 по Y на степен -2 по DY е равно на DX. Вече можем да интегрираме
двете страни на уравнението. Да освободя малко пространство. Какво се получава отляво? Ще увеличим степента с 1, после ще разделим
на същата стойност, значи в степента ще имаме –1:
Y на степен -1 разделено на –1, това ще се получи –1/2
по Y на степен –1 и остава да добавим константа С,
както в предишното видео. Ще имаме такива константи
и от двете страни, от всяка страна имаме различна
произволна константа и като ги прехвърлим от едната страна,
ще получим тяхната разлика, която е друга произволна константа. Затова мога да запиша константата
само от едната страна. Това ще е равно на
интеграл от DX, който прави просто Х. Отдясно имаме Х. Ще добавя константата С
ето тук, отдясно. Ако искам, мога да реша
уравнението за Y. Умножавам двете страни по –2, после отляво имам само Y на степен –1
или 1/Y, а отдясно е този израз, умножен
по –2, става –2 по X
плюс... това е произволна константа, значи –2 по нея
ще получа пак друга произволна константа. Сега можем да вземем
реципрочните стойности на двете страни и да получим Y равно на
1 върху (2Х + С). Сега можем да използваме
дадената информация, по-точно това, че
конкретното ни решение минава през тази точка,
за да намерим С. То гласи, че
когато Х е равно на 1, когато Х е едно,
Y ще е равно на –1. Получаваме, че –1 е равно на
1 върху –2 плюс С, или на 1 / (С – 2),
можем да умножим двете страни по С – 2. Да направим умножението. Минус 1 по С – 2,
което е минус С плюс 2, или 2 – С
е равно на 1, Само умножих двете страни
по С – 2, а сега мога да извадя 2 от двете страни, за да получа минус С
равно на –1 и като умножа двете страни
по минус 1, получавам С = 1. Това означава, че нашето решение
е функцията Y = 1 / –2X + 1. Почти сме готови,
но да се върнем на въпроса. Търсеше се не просто
конкретната функция-корен, търсехме стойността на Y,
когато Х=3 при нея. Вече знаем, че Y е равно
на 1 върху 3 пъти по –2, което е –6,
плюс 1, което прави 1 върху –5,
или –1/5. Вече сме готови.