If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: намиране на частно решение на уравнение с отделящи се променливи

Решаване на ДУ с отделящи се променливи при дадени начални условия. Уравнението в това видео е dy/dx=2y² с y(1)=1.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Сега да се поупражняваме с диференциални уравнения с отделящи се променливи. Дадено е това уравнение: производната на Y спрямо Х е равна на 2 по Y на квадрат, и нека графиката на едно нейно решение минава през точката (1;-1). Пита се колко е Y, когато Х е равно на 3 за това конкретно решение на диференциалното уравнение, което минава през точката (1;-1)? Търсим Y при Х = 3. Приканвам те да оставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно. Предполагам, че вече направи своя опит. Най-важното при диференциалните уравнения с отделящи се променливи е, че те ни дават подсказка още в самото си име: че можем да отделим хиксовете от игреците. Всички членове с Х и DX се отделят от тези с Y и DY. Как да направим това тук? Нека преработя уравнението. То е DY / DX равно на 2 по Y на квадрат. Да видим, можем да умножим двете страни по DX. Отляво знаменателят се унищожава, ако работим с диференциала като с обикновена променлива. Получаваме DY равно на 2 по Y на квадрат по DX. Още не сме напълно готови. Искам да преместя този член: 2 по Y на квадрат, от лявата страна. Правя го, като разделя двете страни на 2 по Y на квадрат. Като разделя двете страни на 2y^2 ще мога да запиша лявата страна като 1/2 по Y на степен -2 по DY е равно на DX. Вече можем да интегрираме двете страни на уравнението. Да освободя малко пространство. Какво се получава отляво? Ще увеличим степента с 1, после ще разделим на същата стойност, значи в степента ще имаме –1: Y на степен -1 разделено на –1, това ще се получи –1/2 по Y на степен –1 и остава да добавим константа С, както в предишното видео. Ще имаме такива константи и от двете страни, от всяка страна имаме различна произволна константа и като ги прехвърлим от едната страна, ще получим тяхната разлика, която е друга произволна константа. Затова мога да запиша константата само от едната страна. Това ще е равно на интеграл от DX, който прави просто Х. Отдясно имаме Х. Ще добавя константата С ето тук, отдясно. Ако искам, мога да реша уравнението за Y. Умножавам двете страни по –2, после отляво имам само Y на степен –1 или 1/Y, а отдясно е този израз, умножен по –2, става –2 по X плюс... това е произволна константа, значи –2 по нея ще получа пак друга произволна константа. Сега можем да вземем реципрочните стойности на двете страни и да получим Y равно на 1 върху (2Х + С). Сега можем да използваме дадената информация, по-точно това, че конкретното ни решение минава през тази точка, за да намерим С. То гласи, че когато Х е равно на 1, когато Х е едно, Y ще е равно на –1. Получаваме, че –1 е равно на 1 върху –2 плюс С, или на 1 / (С – 2), можем да умножим двете страни по С – 2. Да направим умножението. Минус 1 по С – 2, което е минус С плюс 2, или 2 – С е равно на 1, Само умножих двете страни по С – 2, а сега мога да извадя 2 от двете страни, за да получа минус С равно на –1 и като умножа двете страни по минус 1, получавам С = 1. Това означава, че нашето решение е функцията Y = 1 / –2X + 1. Почти сме готови, но да се върнем на въпроса. Търсеше се не просто конкретната функция-корен, търсехме стойността на Y, когато Х=3 при нея. Вече знаем, че Y е равно на 1 върху 3 пъти по –2, което е –6, плюс 1, което прави 1 върху –5, или –1/5. Вече сме готови.