Методът на Ойлер

Както вече видяхме, ако започнем с диф. уравнение (DY/DX = Y) и началното условие е, Y от нула е равно на 1, то частното решение при тези начални условия е Y от Х е равно на Е на степен Х. Или просто казано, y е равно на E на х-та, за да не използваме запис на функция. Дотук всичко е ясно и лесно, и нещата се получават добре. Това е диф. уравнение (ДУ) с разделящи се променливи и можем да интегрираме доста лесно. Но както ще видиш, навлизайки по-навътре в света на диференциалните уравнения, повечето ДУ не се решават толкова лесно. Всъщност повечето изобщо не могат да бъдат решени с аналитични методи. И какво ще правиш сега? Да си представим, че сме описали някои явления, спретнали сме прилични модели с помощта на ДУ, но ако не можеш да ги решиш аналитично, трябва ли просто да се откажеш? Отговорът на този въпрос е "не". Не трябва да се отказваш, защото днес имаме компютри, които са много силни в числените методи. Числени методи за приближение (апроксимация), които ни показват как би изглеждало решението на едно ДУ. Как се прави това? Сега ще разгледаме един от най-простите числени методи за апроксимация на частно решение. За начало ще начертая една малка таблица тук. Значи една табличка. Нека си оставя повече място. Ще я преместя вляво. Една колона за Х и една за Y. Накрая DY/DX. По таблицата можеш да си направиш полето на направленията. Просто си избираш хиксове и игреци в равнината X-Y и след това намираш за ДУ от първи ред, каквото е нашето... наклона в тази точка. Сега ще направим нещо подобно, но вместо да създаваме поле на направленията, ще започнем с нашето начално условие. Знаем, че Y от нула е равно на 1. Знаем, че частното решение на това ДУ съдържа тази точка. Затова ще започнем именно с тази точка. Започваме с Х = 0, само че ще използвам друг цвят. Ще започнем с Х = 0 и Y = 1. Тоест ето тази точка. Сега да си зададем следния въпрос: "Коя е производната в тази точка?" Знаем, че производната във всяка точка, тоест за всяко решение на това ДУ, производната ще е равна на стойността на Y. Значи в този случай производната ще е равна на Y. Тя ще е равна на 1. И по принцип, ако производната е изразена като функция от хиксове, и игреци от хиксове, винаги можеш да намериш наклона на допирателната в тази точка. Ако си съгласен, че наклонът в тази точка е единица, аз ще го начертая по този начин. Но вместо да повтаряме това с още и още точки, ние ще направим нещо друго. Знаем, че наклонът се променя или вероятно се променя в повечето случаи. Но нека приемем, че е постоянен до следващото Х и да намерим къде горе-долу се пада следващото Y. Какво имам предвид? Когато говоря за следващото Х, имам предвид стъпката, която го дели от предишното Х. За да ни е по-лесно, ще приемем, че тази стъпка е единица. Делта Х е равно на 1. Тръгвам от предишното Х = 0, правя една стъпка, равна на 1 и получавам Х = 1. И сега ще направя следното, но не с този цвят. Жълтото вече използвах за кривата или за реалното Е на х-та. Казахме, че Х е равно на 1. Делта Х е едно. Значи току-що добавихме единица. Понеже работим с приближение, можем да приемем, че наклонът е постоянен в този интервал. Къде ни отвежда това? За всяко увеличение на Х с единица ще увелича Y също с единица. Значи Y ще нарасне с едно и ще стане две. Онагледяваме, като поставяме точката тук и навярно вече виждаш накъде върви. Ако тя бе реална точка от кривата, тоест от решението и ако удовлетворяваше условието, каква щеше да е производната? Ами производната е равна на Y. Наклонът на допирателната ще е равен на Y. Значи в този случай наклонът на допирателната ще е равен на две, което можем да покажем нагледно. Ще използвам лилавия цвят. Значи наклонът ще е две и ще изглежда така. Както казахме, наклонът на допирателната ще бъде две. Какво ни показва това? Ще добавим към Х още 1. Сега вече Х = 2. Кое Y ще съответства на това Х? Да видим. За всяко увеличение с 1 в посока Х имаме увеличение с 2 в посока Y, защото наклонът е 2. Следователно, следващото Y ще е 4. Y = 4. Ако си представим сега, че наклонът е горе-долу постоянен, ще стигнем до ето тази точка. И сега ще направим същото. Щом DY/DX според нашето уравнение трябва да е равно на Y, тогава наклонът на допирателната също трябва да е Y. Наклонът ще е 4. И така, нека увеличим Х още веднъж. Ще увеличим X отново с единица. защото решихме, че стъпката е 1. Можехме да увеличаваме с 10, а можеше и с 0,01. Сам ще се досетиш коя стъпка щеше да даде по-точен резултат. Но засега нека увеличим с 1 при наклон равен на 4. Това означава, че ако увеличим Х с 1, трябва да увеличим Y с 4. Така се озоваваме в 8 по ординатата или в точка (3; 8), която се намира тук. Тогава следващата отсечка ще изглежда приблизително така. Както виждаш, само с тези несложни действия добихме приблизителна представа за вида на частното решение. Но сигурно си малко скептичен и се питаш: "Ама що за приближение е това?" На това отговарям, че приближението не е идеално, но може да свърши работа – зависи от целите. Освен това чертах на ръка. Дори не използвах компютър. Понеже исках да работя на ръка, взех сравнително голяма стъпка делта Х. Ако исках по-добро приближение, щях да намаля делта Х. И точно това ще направим сега. Ще разгледаме друг сценарий. Вместо делта Х равно на 1, ще приемем, че делта Х е равно на 1/2. Правим нова таблица с колони за Х, Y и DY/DX. От коя точка да започнем? Тази първа точка вече ни е известна. Дадена е в условието. За Х = 0 и Y = 1 наклонът на допирателната е равен на 1. Но ако увеличаваме с по-малка стъпка, а именно 1/2 или 0,5 колко ще бъде новото Y? Приемаме, че наклонът оттук дотук е ето този наклон тук. Значи наклонът е 1, т.е. ако увеличим Х с 0,5 трябва да увеличим Y с 0,5 и ще получим 1,5. И така, получаваме (0,5; 1,5). Оказваме се в тази точка, която едва се вижда, а новият ни наклон вече е 1,5. Този наклон ще изглежда приблизително така ... всъщност не толкова стръмен...не искам да се престаравам с апроксимацията, а и графиката започва да се претрупва, но наклонът ще изглежда приблизително така. Можеш да продължиш по същия начин, но вече с наклон 1,5. Увеличаваш Х с още 0,5 и получаваш единица. Ако увеличиш със стъпка 0,5 при наклон 1,5 Y ще нарасне с половината от 1,5 или с 0,75. Това прави 2,25. Така стигаш в точка (1; 2,25), която се намира тук. Сега приближението е по-добро. Спомняш си от първоначалното условие, че Y от единица трябва да е равно на Е. В реалното решение Y от 1 трябва да е Е, тоест 2,7 и така нататък. При първото приближение за Y от 1 получихме 2, а при второто приближение получихме 2,25. Ако вместо с 0,5 увеличаваме с 0,1, приближението ще е още по-добро. При стъпка 0,0001 ще се приближим още по-плътно. Това ни разкрива доста интересни неща. Точно по този начин се решават повечето ДУ. Оттук тръгват повечето техники, които са базирани на числени методи, подобни на този. Разбира се, това не е точното решение и методът невинаги е точно същият, но идеята е, че повечето ДУ се решават или по-точно симулират с един или друг числен метод, тъй като повечето не могат да бъдат решени аналитично. Сигурно се питаш как точно се нарича този метод. Това е методът на Ойлер, наречен на известния математик Леонард Ойлер. Метод на Ойлер. Освен че е добър начин за за апроксимиране на решението на това или на всяко ДУ, в този конкретен случай методът на Ойлер ти помага да намериш Е с възможно най-голяма точност. Надявам се, че това ще те вдъхнови за нови подвизи.