След като се запознахме с метода на Ойлер, нека проверим с едно упражнение
математическото ни разбиране за него
или поне процеса на използването му. Условието е: "Реши
диференциалното уравнение: производната на у по отношение на х е равна на 3х – 2у. Нека у = g (х ) удовлетворява диференциалното уравнение
с начално условие g(0) е равно на k,
където k е константа. По метода на Ойлер,
започвайки от х = 0 с големина на стъпката 1,
получаваме приближено решение, че g от 2 е приблизително 4,5. Намери стойността на k." Та така, тук се казва:
"Хей, ще започнем с началното условие,
където х = 0, у = k и ще използваме
Метода на Ойлер с големина на стъпката 1." Та по същество
ще използваме, ще увеличаваме веднъж от 0 до 1,
и след това от 1 до 2. И тогава ще получим
приближено решение от 4,5. И така, имайки предвид,
че започнахме от k, трябва да можем да определим колко
е било k, за да получим g(2) да бъде приблизително равно на 4,5 Така че с това те насърчавам
да спреш видеото и да се опиташ да направиш
това самостоятелно. Предполагам, че опита
да решиш това самостоятелно. Сега можем да го направим заедно. И ще направя същото,
което направихме в първото видео за метода на Ойлер. Ще направя тук една табличка...
... нека начертая табличка. (Бих могъл да начертая и по-права линия. Тази е само незначително по-права, но ще свърши работа.) Та нека направим тази колона за х,
ще си оставя малко място за у,
мога да направя някои изчисления тук,
у и след това dy/dx. Сега можем да започнем с нашето
начално условие. При x=0, y=k. При x=0, y=k. И така, какво ще бъде
нашата производна в този случай? dy/dx е равно на 3x – 2y. Така че в този случай това ще е
3*0 – 2k, което е равно точно на –2k. А сега можем да увеличим с още една стъпка. Имаме размер на стъпката 1,
така че при всяка стъпка ще увеличаваме x с едно, и така сега започваме с 1. На колко ще е равно сега нашето ново y? Ако увеличим
х с 1, и нашия наклон е –2k, това означава,
че ще увеличим y с –2k пъти по 1,
или просто –2k. Така, –2k. И така, k плюс –2k е –k. Така че нашето приближено решение
по метода на Ойлер ни дава първата точка –k,
а какъв ще бъде нашият наклон, започващ в тази точка? Значи, при1 и –k
наклонът ще бъде 3 пъти нашето х, което е 1,
минус 2 пъти нашето y, което сега е –k, и това
е равно на 3 + 2k. А сега ще увеличим с още 1, защото това е нашата големина на стъпката. Още 1, опа, ще стигна до 2. Тази стойност ни интересуваше,
нали така? Защото искаме да намерим
приблизителна стойност на g(2). Сега да видим какво ще е
нашето приближено решение за y при x = 2? И трябва да имаме
някакъв израз за k, а условието гласи,
че това ще е 4,5, което след това можем да ползваме
за да намерим k. И така, какво ще е това? Ако увеличим с 1 за х, трябва да увеличим нашето у
с 1 *3+2k. И така, увеличаваме
с 3+2k, или –k + 3+2k, което е равно на 3+k. И според условието това е приблизително равно на 4,5 Така че 3 + k = 4,5 Значи k, с което започнахме,
трябва да е било... ако просто извадим 3 и от двете страни, (това тук е десетична запетая)
трябва да е било... k трябва да е равно на 1,5,
което можеш да провериш. Ако това начално условие ето тук, ако g(0) е равно на 1,5,
тогава заместваш 1,5 тук. След което ето тук би се получило 4,5
и с това сме готови.