If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: експоненциално решение на диференциално уравнение

Решението на общото диференциално уравнение dy/dx=ky (за някаква константа k) е С по е на степен 3х (за някаква константа C). Виж как се извежда това и как се използва за намиране на конкретно решение на диференциалното уравнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Имаме диференциалното уравнение производната на у за х е равна на 3 по у. Искаме да намерим конкретното му решение, при което у е равно на 2 за х=1. Приканвам те да оставиш видеото на пауза, за да опиташ да го намериш самостоятелно. И така, сега да го решим заедно. Тук може веднага да кажеш, че този вид диференциално уравнение има експоненциално решение. И това е правилно. Но аз няма веднага да премина към това, първо ще отбележа, че уравнението е с отделящи се променливи и ще го реша като такова. Като казвам, че променливите са отделими, това означава, че можем да отделим членовете с у и dy от едната страна, а тези с х и dх – от другата. И така, какво мога да правя? Да разделя двете страни на това уравнение на у и да ги умножа по dx, ще получа 1/у по dy равно на 3 по dx. Сега от лявата и от дясната страна имам тези чисти изрази, които мога да интегрирам. Това се има предвид под диференциално уравнение с отделящи се променливи. Сега, ако искам да запиша лявата страна в доста общ вид, мога да запиша, че примитивната функция на 1/у е равна на натурален логаритъм от абсолютната стойност на у. Взимам примитивната функция по отношение на у. Сега мога да добавя константа, но мога и да я пренеса от дясната страна. Няма причина да ползвам две произволни константи и от двете страни. Мога просто да добавя една само от едната страна. На какво е равна тази? Примитивната функция тук е 3 по х, и ще добавя и обещаната константа С. Ето тук. Сега да помислим малко. Мога да преобразувам това в експоненциален запис. Мога да запиша, че числото Е на степен 3х+С е равно на натуралния логаритъм от у. Записвам, че натуралният логаритъм от у е равен на E на степен (3х+С). Сега мога да преобразувам това в Е на степен 3х по Е на степен С. Забележи, че Е на степен С е друга произволна константа, която мога да означа също с С. Тя ще е с различна стойност, но тук търсим само логиката за структурата на този тип задачи. И така, тук имаме някаква константа, умножена по Е на степен 3х. Това е друг начин да си го представим. Абсолютната стойност на у е равна на това. Това само по себе си още не е функиция. Искаме да намерим функцията, което е решение на това диференциално уравнение. Но това ни казва, че у може да е равно на едното от двете: или С по Е на степен 3х, или на минус С по Е на степен 3х. Това пак е доста общо. Имаме произволна константа, не знаем колко е С. Какво можем да направим? Може да изберем този случай, за да намерим С, като предположим, че сме в този случай. Ще видим как да изпълним тези условия, като използваме това или другото, и се съобразяваме със знака пред израза. Да го направим. Имаме, че у е равно на 2. Ще намеря С, за да намеря конкретно решение. Условието е, че за х=1 у е равно на 2. Мога да го запиша така, получавам, че 2 е равно на С по Е на трета степен, защото 3 по 1 е 3. За да намеря С, просто разделям двете страни на Е на трета, мога да умножа двете страни по Е на степен –3, получавам 2 по Е на степен –3 равно на С. Сега да го заместим обратно и нашето конкретно решение ще се получи: у равно на С, което е 2 по Е на степен –3 по Е на степен 3 пъти х. Сега ще умножа тези две. Те са с еднаква основа. Мога да събера степените. Получавам у равно на 2 по Е на степен, събирам степените, 3х – 3. Това е. Това е един начин за записване на конкретното решение, което отговаря на тези критерии за това диференциално уравнение с отделими променливи.