Решен пример: Текстова задача върху логистичния модел

Числеността Р(t) на една бактериална колония в петриева паничка може да се моделира с диференциално уравнение. Скоростта на изменение на числеността спрямо времето dP/dt е равна на 2 пъти числеността по 6 минус числеността на бактериите, делена на 8000, като времето t се измерва в часове от началния момент, в който броят на бактериите е бил 700. Каква е максималната численост на популацията; какъв е размерът на популацията, когато нараства с максимална скорост? Ако искаш да опиташ да отговориш на въпросите, във всеки момент, в който усетиш вдъхновение, спри видеото и опитай да отговориш самостоятелно. Първо да обобщим какво означава или какво ни казват с термините логистично диференциално уравнение и максимално възможна численост. Принципно логистичното диференциално уравнение е уравнение, в което виждаме скоростта на изменение, като често става въпрос за популации, така че нека се ограничим до популации. Значи скоростта на изменение на популацията спрямо времето е пропорционална на произведението на числеността и разликата между т.нар. максимален размер и числеността. Този модел ще срещаш често, тъй като е особено полезен при изучаване на популациите. Когато популацията е малка, средата не я ограничава и можем да допуснем, че започва от някаква начална стойност, Това (P) нараства, а това (а - P) няма да стане много по-малко и така за нашата популация скоростта на изменение нараства. Ще начертая една графика, за да покажа типичното решение на логистично диференциално уравнение. Това е числеността на популацията, това е времето. Когато числеността е ниска, да кажем, че започва от някаква стойност, различна от нула... Ако това е нула, какво би станало – скоростта на изменение също ще бъде нула, популацията няма да расте и това няма никакъв смисъл. Ако нямаме зайци на острова, тогава и в бъдеще няма да има никакви зайци на острова. Но ако първоначално имаме няколко заека, тогава тяхната скорост на нарастване, скоростта на размножаване ще става все по-голяма, когато това расте, тя ще продължи да нараства, но в някакъв момент средата ще ограничи колко зайци, или в нашия пример колко бактерии могат да се развиват в тази среда. Защото, когато числеността приближи стойността а, този член ще стане близък до нула, а това ще направи скоростта на изменение все по-малка и по-малка. И можеш да си представиш ограниченията, когато Р се доближи до а, представи си, че t се приближава към безкрайност, тогава скоростта на изменение ще стане близка до нула. Един начин да разглеждаме това е, числеността ще се доближи до асимптота на максималната численост. Това а ето тук е максималната възможна численост. Има няколко начина да отговорим на първия въпрос. Единият е ако представим логистичното диференциално уравнение в този вид и после да намерим колко е максимално възможната численост. Друг начин да го разглеждаме е, че когато t се приближава до безкрайност, това тук се доближава до нула. Така от това логистично диференциално уравнение можем да видим при какви стойности на Р тази част е нула въз основа на това диференциално уравнение, или когато това приближава нула, какви стойности на Р доближава това. Да го направим и по двата начина. Първият начин – ще го запиша в този вид ето тук, това е (6 – Р/8000), което можем да представим като някакво число минус Р. Ако умножим това по 8000, а после разделим това на 8000, няма да променим стойността на този израз, така че да го направим. Ако разделим тук на 8000, ще получим dP/dT = 2Р/8000 по... равно на Р/4000, по... сега да умножим израза (6 - Р/8000) по 8000. 6 по 8000 е 48 000, минус Р/8000 по 8000, което е равно на –Р. Преобразувахме го в един по-класически вид, и можем да видим, че максимално възможната численост е 48 000, предполагам, че това са 48 000 бактерии. Значи тук е 48 000. Друг начин да разгледаме това е, че максимално възможната численост се достига, когато t се доближава до безкрайност. Значи t доближава безкрайност, това нещо ето тук се доближава до нула, и можем да видим, че скоростта на изменение доближава нула. Когато това доближава нула, до колко се доближава Р? Можем да го намерим; 2Р(6 – Р/8000). Има две ситуации, две стойности на Р, за които производната е равна на нула. Единият случай е, когато това е равно на нула, тогава и популацията е нула. Вторият случай е, когато това е равно на нула. Да го намерим: (6 – Р/8000) = 0. Можем да кажем, че Р/8000 е равно на 6. Умножаваме двете страни по 8000 и получаваме Р = 48 000. Което е същото като това, което получихме тук. Сега да отговорим на втория въпрос. Каква е числеността, когато скоростта на нарастване е най-голяма? Интуитивно може да кажеш, че това е в ето този момент, че скоростта на изменение нараства, но после наближаваме максимално възможната численост, когато скоростта на изменение ще започне да намалява. Значи максималната скорост на изменение, най-бързият растеж, е точно ето тук, но някак трябва да го определим точно. Можем да се върнем към логистичното диференциално уравнение. Можем да видим, че скоростта на изменение е функция, можем да я разглеждаме като функция от числеността ето точно тук. Това всъщност е един израз от втора степен, чиято графика е вдлъбната парабола, която изглежда ето така, ако представим графично скоростта на изменение dP/dt като функция от числеността, когато популацията е малка, да кажем броят ѝ е 700, колкото имаме в началото. Но ще говоря общо, когато числеността е малка, тогава скоростта е малка, но после нараства и в някакъв момент някъде тук скоростта на изменение започва да намалява и достига нула, тъй като бройката се доближава до максимално възможната. Ето това тук, например, би могло реално да бъде максимално възможната численост. Коя е максималната точка ето тук, като има няколко начина да определим това. Може с математически анализ, даже алгебрично, има много начини за намиране на максималната точка, което е просто точката, в която се променя посоката на тази параболична крива. Хайде просто да намерим тази точка, която е точно по средата между двете нули на това квадратно уравнение. Да намерим стойностите на Р, за които това е равно на нула, което ние всъщност вече направихме. Максимумът ще бъде точно по средата между тях. Значи при численост нула скоростта на изменение е нула, когато числеността е а, което знаем, че е 48 000, скоростта на изменение е нула, така че максималната скорост на изменение е точно по средата между тези две точки, и това е 24 000. Значи при численост 24 000. Получихме това, като просто казахме, в една точка тази квадратна функция, функция от втора степен по отношение на Р, тя достига максималната си стойност. Тази точка е по средата между двете нули, които имаме при Р = 0 и Р = 48 000. Следователно това ще стане при численост 24 000. Този вид задачи изглеждат много страшни на пръв поглед – логистични диференциални уравнения, как ли може да се реши и анализира това? Но ключът е: първо, да разпознаеш логистичното диференциално уравнение, да видим какво означава и после да разгледаме скоростта на изменение като функция от популацията. Запомни, че максимално възможната численост имаме когато t се приближава до безкрайност, и тогава скоростта на изменение приближава нула. А щом това се доближава до нула, тогава до какво се доближава числеността.