If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:34

Решен пример: уравнения, представящи логистични модели

Видео транскрипция

В последните няколко урока видяхме как да решим логистично диференциално уравнение, в което имаме константата R, показваща колко бързо расте популацията, ако няма ограничение от околната среда, и константата К, която представлява максималната популация при някакви лимитиращи условия. Видяхме как да намерим негово решение, което не е едно от константните решения N(T) = 0 или N(T) = К. Това правехме в предишните няколко видеа. Получихме решението, че N(T) е равно на началната популация N нулево по максималната популация, цялото това делено на началната популация плюс разликата между максималната и началната популация: (K – N нулево) умножена по числото Е на степен минус RT. Това е тази логистична функция. Логистичната функция е неконстантно решение и тя ни интересува, когато моделираме популация чрез логистичното диференциално уравнение. След като направихме всичко това, за да намерим тази функция, нека да я приложим. Това беше целта – да моделираме растежа на популацията. Ще въведем някои допускания. Първо да си представим, че имаме изолиран остров. Ето това е нашият остров. В началото го заселваме със 100 човека. Това означава, че N нулево..., ще го запиша със същия цвят, че N нулево е равно на 100. Нека околната среда на острова с известната технология на земеделие и наличност на вода и други ресурси, може да поддържа най-много 1000 човека. Това значи, че К=1000. Това е границата на популацията. Да помислим колко ще е R? Трябва да направим някои допускания. Да кажем, че едно поколение е от 20 години. Разумно е популацията да нараства, да речем, с 50% за поколение. Значи, за 20 години нараства с 50%. Това е растеж на цялата популация на острова. Колко ще е годишният растеж, за да се получи 50% след 20 години? Ще използвам калкулатора. Можем да си представим, че растеж от 50% представлява 1,5 пъти по началната популация. Ако повдигна това на степен 1/20, калкулаторът ще изчисли колко е 1/20, това ще ми покаже колко пъти ще нарастне популацията всяка година: това е 1,02048 пъти на година. Можем да си представим, че всяка година популацията расте с 0,0205 пъти и за 20 години това се натрупва, за да стигне 50%. Това е нашето R. Това показва колко пъти нараства популацията всяка година. Ще го запиша: растеж за година Предполагам, че Т се измерва в години. Записвам и това: мерната единица на Т е година. Как ще изглежда логистичната функция, когато имаме всички тези предположения? Ще имаме N(T) равно на N нулево по К, това е 100 по 1000... Това е началната популация по максималната популация. В знаменателя имам началната популация, тя е 100, плюс разликата между максималната и началната, това е 1000 минус 100, което е равно на 900, умножено по числото Е на степен минус RT. Това е минус 0,0205 по Т. Това е равно на това и сега искам да се уверя, че това наистина описва популацията по същия начин, по който си мислехме, че я описва логистичното диференциално уравнение. Нека начертаем графиката на тази функция. Оставям на пауза, за да я начертая. Ето я, вече съм готов с графиката и я поставям тук. Виждаме поведение на функцията, точно каквото очаквахме. Това е популацията в година нула. Тя започва от 100 човека. Ще използвам съответния цвят. Популацията започва от 100 и виждаме как след 20 години тази популация изглежда е нараснала почти до 150 души. Изглежда, че поне в началото този член тук е доминиращ. Нарастваме с 0,0205 пъти което е 2,05% на година и това ни доближава до 50% нарастване. Да видим какво се случва в началото. Популацията става от 100 на 150 човека за първите 20 години, това е първото поколение. В следващото поколение ще добавим още 75 човека, ако нямаме ограничения от околната среда. И така, 150 + 75 = 225. Но изглежда, че след тези 20 години достигаме около 200, значи растежът е малко по-бавен, отколкото би бил при чист експоненциален растеж. Но чистият експоненциален растеж вероятно ще ни помогне да стигнем някъде до тук, и все още ще нараства стабилно. Но когато популацията стане по-голяма и все по-голяма и се доближим все по-близко до максималната популация, скоростта на растеж ще се стреми към нула. Ние постоянно се стремим към максималната популация, но не успяваме съвсем да я достигнем. Тя представлява асимптота. Просто се приближаваме към нея с напредване на времето. Но може да зададеш и собствена граница и да се запиташ кога ще достигнем до, например, 90% от максималната популация? От графиката изглежда, че 90% от максималната популация се достига след 210 години на този остров. От човешка гледна точка това изглежда като много дълго време, много поколения, но спрямо космическото време това не е чак толкова дълго. Това дори не се вмества в космическите стандарти, това е съвсем малко, малко повече от един човешки живот. Значи това описва какво се случва. Този модел е интересен и ще е интересно да се види как се съпоставя с реалните данни от растежа на истинска популация. Като сме уточнили това, всичко досега се основава на предположението, че популацията има граница, за каквато говори Малтус. Но от човешката история знаем, че границата на Малтус постоянно се премества все по-високо и по-високо с напредването на технологиите. Можем да отглеждаме повече храна на единица площ. Имаме по-добри закони и хората не се избиват толкова често. Имаме по-добър контрол над водата и напояването и други преимущества. По този начин можем да преместим границите много над това, което са предвиждали преди векове. Предполагам, че ако някой разкаже на Томас Малтус, че през 2014 година има седем милиарда човека, населяващи Земята, то той би казал, че това число е много над границата на Малтус. Той вероятно би предположил, че границата на Малтус е някъде около 1 милиард, може би дори 2 милиарда с технологията от онова време. А вече сме достигнали 7 милиарда. С подобряването на технологиите, земеделието и законността, с все по-добрите условия на живот, докъде можем да стигнем? Кой ли знае? Може да дойдат времена, когато да има 20 милиарда души на планетата, макар това да е лудост за съвременното технологично ниво. Но с подобряването на технологиите оптимистичните сценарии предвиждат все по-голямо увеличение на популацията. Това не е задължително да е хубаво нещо, но е възможно да се случи.