Логистични уравнения (част 2)

В първата част стигнахме много близко до намирането на функцията N(T), която удовлетворява логистичното диференциално уравнение, чието начално условие е между 0 и К. Остава да използваме малко алгебра, за да довършим задачата. Стигнахме дотук. За нашето N(T) това трябва да е вярно. Сега можем да използваме свойствата на логаритмите, за да преобразуваме лявата страна. В нея има логаритъм от един израз минус логаритъм от друг израз. Това ще даде логаритъма от първия израз, разделен на втория израз. Това е N върху 1 – N/К. Това ще е равно на израза от дясната страна, равно... нека го напиша, равно на R по Т плюс С. Какво можем да направим сега? Това уравнение е равносилно на неперовото число Е на степен RT+С да е равно на израза в тези скоби. Натуралният логаритъм от това е степента, на която трябва да повдигна числото Е, за да получа дясната страна. Мога да го запиша така. Повдигам числото Е на степен, равна на тази лява страна. Имам и числото Е на степен дясната страна. Двете трябва да са равни. Знаем, че Е на степен този логаритъм е равно на израза в скобите. Това ще е просто N върху 1 – N/К. Записвам това със зелено. Така можеш да проследиш откъде идва. Това е равно на Е на степен този израз: Е на степен израза R по T, записвам Т с бяло, плюс С. Ако искам, мога да преобразувам това. Имам Е на степен сбора от две числа. Мога да го преобразувам като Е на степен RT по Е на степен С, и за да опростя още, последното също е произволна константа, която мога да обознача като С1, но мога да използвам отново и просто С като константа. Дясната страна стана равна на някаква константа по Е на степен RT. Сега искаме да намерим N от уравнението. Напомням, че ако имаш желание, по всяко време можеш да спреш и да потърсиш N самостоятелно Да видим. Един начин да намерим N. Може да вземем реципрочното на всяка от страните. Ще отделя с линия, за да знаеш къде сме. Тук ще взема реципрочното на всяка от двете страни. Получавам, отляво, 1 минус N/К върху светлозеленото N. Това е равно на реципрочното на дясната страна: 1 върху С по Е на степен минус RT. Но 1/С също е произволна константа. Мога да го запиша и като 1/С, реципрочното на константа, което също е константа, или да го направя по-просто и да го отбележа с нов знак като друга константа. Можех да нарека тази С едно, а другата да е С две. Тогава да нарека тази С три, за да е ясно, че тези константи не са едно и също число. A тук имаме Е на тази степен. Това е реципрочно на това. Ще поясня. Ето тук имахме С едно, а това ще бъде реципрочно на това С три. А числото Е на степен RT е реципрочно на числото Е на степен минус RT. Минусът в степента прави числото реципрочно. А сега да разделим числителя на N, да видим какво ще се получи. Разделям член по член. Този член, разделен на N, е 1/N. А вторият член, делено на N е минус 1/К. Тук имам 1/N минус 1/К равно на това. Равно на целия този израз. Копирам го от дясната страна. Това е добро упражнение на алгебричните умения. Да видим. Можем да прехвърлим това 1/К от дясната страна. Там ще дойде с плюс, защото го добавям към двете страни, става плюс 1/К. Сега остава да намерим N, като вземем реципрочното на двете страни. Отляво остава само N. Ще го запиша като функция: N(Т), записвам Т с бяло. Запазвам цвета му, за да се проследи лесно. Това е равно на едно върху целия този израз. Копирам го тук в знаменателя. Това само по себе си вече е доста интересно. Мога да го запиша така. И после ще опитам да го опростя: например, К тук е дроб в дробта. Мога да го преобразувам ето тук... N(Т) е равно на... мога да умножа числителя и знаменателя по едно и също число, но засега ще го оставя така. Сега ще направя нещо друго. Да видим. Предполагаме, че N(0) е N нула. Имаме това предположение за начално положение: N(0) = N нула. Да го запишем. Сега можем да намерим константата. Каква ще бъде тя, ако имаме това начално условие? N от нула ще е равно на 1 върху... Когато Т е нула, това ще бъде равно на 1. Значи в знаменателя е нашата константа С три плюс 1 върху К, където К е максималната стойност на популацията, която околната ѝ среда може да поддържа. Цялото това е равно на N нула. Сега можем да намерим константата. Ще ми трябва повечко място за това. Отново мога да взема реципрочното на всяка страна. Това е често използвана техника. С три плюс 1/К е равно на 1 върху N нула. Просто взех реципрочното на всяка страна и получих, че константата С три е равна на 1/N нула минус 1/К. Можем да заместим това в нашето решение, което ще наричаме логистична функция. Тук става интересно, получаваме N(Т) равно на 1 върху, нашата константа е това, ще го копирам тук, ето така. В знаменателя имам нашата константа, която е този израз, умножена по числото Е на степен минус RT, плюс 1/К. Не искаме всички тези дроби в знаменателя, можем да умножим числителя и знаменателя по общия им знаменател N нула по К. Умножавам числителя по N нула по К. В знаменателя също умножавам всичко по N нулево по К. Какво получавам? Това всичко ще е равно на: в числителя имам N нулево по К, а в знаменателя се получава, като умножа този член по N нулево по К, става К, а този член по N нулево по К става N нулево, значи минус N нулево, цялото по Е на степен минус RT. После умножавам и това събираемо по N нулево по К и получавам N нулево. Това плюс N нулево. И така. Намерихме решение на логистичното диференциално уравнение. Ще го наречем логистична функция, която ще изследваме по-задълбочено в следващите уроци, за да видим каква е нейната роля. Насърчавам те да начертаеш графиката на тази функция, като може да ползваш Интернет, на сайта Wolfram Alpha или с програма за чертане на графики. Така ще видиш, че тази функция има точно такива свойства, каквито търсим. Тя започва от стойност N нулево. Стойността ѝ се увеличава все по-бързо, но после забавя, докато достигне максималната популация. Тя е много удобна функция. Ако я използваш за модел на популация, можеш да започнеш да правиш предвиждания как ще изглежда популацията в произволен момент. Надявам се този урок да ти е харесал.