Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 2
Урок 9: Логистични модели- Модели на растеж: въведение
- Модел на логистичен растеж
- Решен пример: Текстова задача върху логистичния модел
- Диференциални уравнения: Текстови задачи върху логистичния модел
- Логистични уравнения (част 1)
- Логистични уравнения (част 2)
- Решен пример: уравнения, представящи логистични модели
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Логистични уравнения (част 2)
Да намерим решението на общото логистично уравнение dN/dt=rN(1-N/K). Решението е донякъде страховито, но си заслужава да ни изтърпиш!
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В първата част стигнахме много близко до намирането
на функцията N(T), която удовлетворява логистичното
диференциално уравнение, чието начално условие
е между 0 и К. Остава да използваме
малко алгебра, за да довършим задачата. Стигнахме дотук. За нашето N(T) това
трябва да е вярно. Сега можем да използваме
свойствата на логаритмите, за да преобразуваме
лявата страна. В нея има логаритъм от
един израз минус логаритъм от друг израз. Това ще даде
логаритъма от първия израз, разделен на втория израз. Това е N върху
1 – N/К. Това ще е равно на израза от дясната страна, равно... нека го напиша, равно на R по Т плюс С. Какво можем
да направим сега? Това уравнение
е равносилно на неперовото число Е
на степен RT+С да е равно на израза
в тези скоби. Натуралният логаритъм от това е степента, на която
трябва да повдигна числото Е, за да получа
дясната страна. Мога да го запиша така. Повдигам числото Е на степен, равна на тази лява страна. Имам и числото Е
на степен дясната страна. Двете трябва да са равни. Знаем, че Е на степен
този логаритъм е равно на израза в скобите. Това ще е просто N върху 1 – N/К. Записвам това със зелено. Така можеш да проследиш
откъде идва. Това е равно на Е
на степен този израз: Е на степен израза
R по T, записвам Т с бяло, плюс С. Ако искам, мога
да преобразувам това. Имам Е на степен
сбора от две числа. Мога да го преобразувам
като Е на степен RT по Е на степен С,
и за да опростя още, последното също е
произволна константа, която мога да обознача
като С1, но мога да използвам отново
и просто С като константа. Дясната страна стана равна на някаква константа
по Е на степен RT. Сега искаме да намерим
N от уравнението. Напомням, че
ако имаш желание, по всяко време
можеш да спреш и да потърсиш N
самостоятелно Да видим. Един начин да намерим N. Може да вземем
реципрочното на всяка от страните. Ще отделя с линия, за да
знаеш къде сме. Тук ще взема реципрочното
на всяка от двете страни. Получавам, отляво, 1 минус N/К
върху светлозеленото N. Това е равно на реципрочното
на дясната страна: 1 върху С
по Е на степен минус RT. Но 1/С също е произволна
константа. Мога да го запиша
и като 1/С, реципрочното на константа,
което също е константа, или да го направя по-просто и да го отбележа с нов знак
като друга константа. Можех да нарека тази С едно,
а другата да е С две. Тогава да нарека тази
С три, за да е ясно, че тези константи не са едно и също число. A тук имаме Е на тази степен. Това е реципрочно на това. Ще поясня. Ето тук имахме С едно, а това ще бъде реципрочно на това С три. А числото Е на степен RT е реципрочно на числото Е
на степен минус RT. Минусът в степента прави числото реципрочно. А сега да разделим числителя на N, да видим какво ще се получи. Разделям член по член. Този член, разделен на N,
е 1/N. А вторият член, делено на N е минус 1/К. Тук имам 1/N минус 1/К
равно на това. Равно на целия този израз. Копирам го от дясната страна. Това е добро упражнение
на алгебричните умения. Да видим. Можем да прехвърлим това
1/К от дясната страна. Там ще дойде с плюс, защото го добавям
към двете страни, става плюс 1/К. Сега остава да намерим N, като вземем реципрочното
на двете страни. Отляво остава само N. Ще го запиша като функция: N(Т), записвам Т с бяло. Запазвам цвета му, за да се проследи лесно. Това е равно на едно върху целия този израз. Копирам го тук
в знаменателя. Това само по себе си вече е доста интересно. Мога да го запиша така. И после ще опитам
да го опростя: например, К тук е
дроб в дробта. Мога да го преобразувам ето тук... N(Т) е равно на... мога да умножа числителя
и знаменателя по едно и също число, но засега ще го оставя така. Сега ще направя нещо друго. Да видим. Предполагаме, че N(0) е N нула. Имаме това предположение за начално положение:
N(0) = N нула. Да го запишем. Сега можем да намерим
константата. Каква ще бъде тя, ако имаме това начално
условие? N от нула ще е равно на 1 върху... Когато Т е нула, това
ще бъде равно на 1. Значи в знаменателя
е нашата константа С три плюс 1 върху К,
където К е максималната стойност
на популацията, която околната ѝ среда
може да поддържа. Цялото това е равно на N нула. Сега можем да намерим
константата. Ще ми трябва
повечко място за това. Отново мога да взема
реципрочното на всяка страна. Това е често използвана
техника. С три плюс 1/К
е равно на 1 върху N нула. Просто взех реципрочното
на всяка страна и получих, че константата
С три е равна на 1/N нула минус 1/К. Можем да заместим това
в нашето решение, което ще наричаме
логистична функция. Тук става интересно,
получаваме N(Т) равно на 1 върху,
нашата константа е това, ще го копирам тук, ето така. В знаменателя имам
нашата константа, която е този израз, умножена по числото Е
на степен минус RT, плюс 1/К. Не искаме всички тези
дроби в знаменателя, можем да умножим
числителя и знаменателя по общия им знаменател
N нула по К. Умножавам числителя
по N нула по К. В знаменателя също
умножавам всичко по N нулево по К. Какво получавам? Това всичко
ще е равно на: в числителя имам
N нулево по К, а в знаменателя
се получава, като умножа този член
по N нулево по К, става К, а този член по N нулево по К
става N нулево, значи минус N нулево, цялото по Е на степен
минус RT. После умножавам и това
събираемо по N нулево по К и получавам N нулево. Това плюс N нулево. И така. Намерихме решение на логистичното
диференциално уравнение. Ще го наречем
логистична функция, която ще изследваме по-задълбочено
в следващите уроци, за да видим каква
е нейната роля. Насърчавам те да начертаеш
графиката на тази функция, като може да ползваш Интернет,
на сайта Wolfram Alpha или с програма
за чертане на графики. Така ще видиш,
че тази функция има точно такива свойства,
каквито търсим. Тя започва от стойност N нулево. Стойността ѝ се увеличава
все по-бързо, но после забавя, докато достигне максималната
популация. Тя е много удобна функция. Ако я използваш
за модел на популация, можеш да започнеш
да правиш предвиждания как ще изглежда популацията
в произволен момент. Надявам се този урок
да ти е харесал.