Решен пример: множеството от стойности от поле на направленията

Ако началното състояние е точката (0;6), какво е множеството от решенията за функцията y = f(x) за х >= 0 ? Имаме полето на направленията на диференциално уравнение. Разглеждаме едно негово решение, като има начална точка (0;6), значи точката (0;6) е от графиката на функцията. Да видим къде е точката (0;6), тя е тук и лежи на графиката на функцията. Искаме да намерим множеството от решенията за графиката на функцията. Графиката на функцията може да се намери на око, като разгледаш полето на направленията. Колкото до х, трябва да помним, че то е по-голямо или равно на 0. Графиката включва тази точка тук. Когато х се увеличава, можем да видим от наклона, че у ще намалява, но ще намалява с все по-малка скорост. Изглежда, че има асимптота, която се приближава до правата у = 4. Графиката я доближава, когато х става все по-голямо, тогава у става все по-близо до у=4, но не го достига съвсем. Възможните стойности на у тук са ограничени от у > 4. Никога няма да стане равно на 4. Знам, че у ще бъде винаги по-голямо от 4. Това е лявата граница на интервала. Дясната граница на този интервал е равна на 6. 6 е най-голямата стойност, която кривата може да заеме. Мога да запиша това и чрез неравенството 4 < у <= 6. И по двата начина описвам множеството от стойности. Това са стойностите на у, които решението може да има за х >= 0. Ако се питаше за всички х, тогава щеше да може да се върнем оттук и да продължим. Но се пита за множеството от възможните стойности на решението за х >= 0. Затова не се интересуваме от тези стойности, когато х < 0. Имаме крива, която изглежда по такъв начин. Виждаш, че най-голямата приета стойност е 6, и кривата достига тази стойност, защото тя включва х = 0. После кривата тръгва надолу, като се доближава до 4 или поне много близо до 4. Никога не достига съвсем до 4.