Диференциални уравнения с отделящи се променливи

Разделяне на променливите е често срещан метод за решаване на диференциални уравнения. Нека видим как се прави, като решим диференциалното уравнение ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍:

В редовете от $(1)$‍ до $(3)$‍ сме преобразували уравнението, за да бъде във вида $f(y)dy=g(x)dx$‍. С други думи, разделихме $x$‍ и $y$‍, така че всяка променлива да е в различна страна на знака за равенство, включително $dx$‍ и $dy$‍, които формират израза за производна ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍. Ето защо този метод се нарича "разделяне на променливите."

В ред $(4)$‍ сметнахме неопределения интеграл на всяка страна на уравнението. Основният принцип, както винаги при уравненията, е, че ако $f(y)dy$‍ е равно на $g(x)dx$‍, тогава техните неопределени интеграли също трябва да са равни.

В редове $(5)$‍ и $(6)$‍ интегрирахме спрямо $y$‍ (в лявата страна) и спрямо $x$‍ (в дясната страна), а после изразихме $y$‍.

Само прибавихме константа $C$‍ в дясната страна. Добавянето на константа и в двете страни ще е излишно, защото тогава можем да прехвърлим едната константа от другата страна и да получим накрая само една константа.

В заключение, общото решение на ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{3y^2}}$‍ е $y=\sqrt[3]{x^2+C}$‍. Можеш да диференцираш $y$‍, за да провериш решението.

Разглеждайки решението на уравнението, забележи как разделянето на променливите, което извършихме в редовете от $(1)$‍ до $(3)$‍, ни позволи да интегрираме всяка страна и да получим уравнение без производна.