Идентифициране на уравнения с отделящи се променливи

За да решим едно диференциално уравнение чрез разделяне на променливи, трябва да можем да го приведем във вида $f(y)dy=g(x)dx$‍, където $f(y)$‍ е израз, който не съдържа $x$‍, а $g(x)$‍ е израз, който не съдържа $y$‍.

Не всички диференциални уравнения са такива. Например ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x+y$‍ не може да се приведе във вида $f(y)dy=g(x)dx$‍, колкото и да се опитваме.

Всъщност, голямо предизвикателство в разделянето на променливи е да се определи къде този метод е приложим. Диференциалните уравнения, които могат да се решат чрез разделяне на променливите, се наричат диференциални уравнения с разделящи се променливи.

Тогава как можем да разберем дали едно уравнение е с разделящи се променливи? Най-често срещаните уравнения са такива, където ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$‍ е равно на произведението или частното на $f(y)$‍ и $g(x)$‍.

Например ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{g(x)}{f(y)}}$‍ може да се преобразува в $f(y)dy=g(x)dx$‍, когато се умножи по $f(y)$‍ и $dx$‍.

Също така ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍ може да се преобразува в ${\displaystyle \frac{1}{f(y)}}dy=g(x)dx$‍, когато се раздели на $f(y)$‍ и се умножи по $dx$‍.

Тук имаме няколко конкретни примера:

Други уравнения трябва малко да се обработят, преди да са във вида ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=f(y)g(x)$‍. Например, трябва да извадим пред скоби х в дясната страна на ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=xy-7x$‍, за да стигнем до желания вид: