Възможни ли са алгебрични действия с интеграли?

С първите си стъпки в математическия анализ учим, че производната на дадена функция f може да се запише като f'(х) равно на границата... и тук има много начини на запис, когато промяната на X се стреми към 0 на израза f от X плюс промяната в X минус f от X върху промяната в X. Учат се различни начини да се запише това. Например, ако имаме Y = f(X), можем да запишем това като Y' (игрек прим). Можем да го запишем и като DY върху DX, често ще ме чуваш да наричам този запис производната на Y по отношение на Х. също и производната на f по отношение на Х, защото Y е равно на нашата функция. Но по-късно, особено, когато започваме да се занимаваме с диференциални уравнения, виждаме този запис да се употребява като обикновен алгебричен израз. Например, предстои да учиш, или може би вече знаеш, как се решават диференциални уравнения като това: производната на Y спрямо Х е равно на Y. Тук скоростта на промяна на Y по отношение на Х е равна на самата стойност на Y. Това е едно от най-простите диференциални уравнения, които може да срещнеш. Може да видиш такъв метод на решаване: да умножим двете страни на уравнението по DX. DX така се използва като обикновен алгебричен израз. И така, умножаваш двете страни по DX и получаваш алгебрично унищожаване тук, това е причината да се използва по този начин. Получава се DY равно на Y по DX, после ще искаме да разделим двете страни на Y, което е разумно, тъй като Y е алгебричен израз. И така, като разделим двете страни на Y, получаваме 1 върху Y по DY равно на DX. После хората интегрират двете страни, за да намерят общо решение на това диференциално уравнение. Но целта на това видео не е да се опитваме да решим накакво диференциално уравнение, а да помислим за самата идея да се използват така наречените диференциали, това е, когато имаме DX или DY, и да се извършват с тях подобни алгебрични действия. Използваме ги като алгебрични изрази, когато умножаваме двете страни по DX или DY, или ги разделяме на DX или DY. Обикновено не говоря така, но да кажеш с увереност, че това е правилно в тази ситуация, не е лесна задача. За да сме донякъде спокойни, когато използваме това, ще кажа, че това е практически метод, който не е строго обоснован математически, но се е доказал като полезен инструмент за намиране на тези решения. Идеята, която стои зад диференциалите DY върху DX e, че това е много малка промяна в Y, която съответства на много малка промяна в Х. Това ни казва и определението с границата. Особено, когато делта Х се доближава до 0, ще имаме многа малка промяна в Х. Това е делта х да се стреми към 0. От това ще следва много малка промяна и в Y. Така може да разбереш малко по-добре една от причините за този запис. Можеш да си го преведеш като: каква е тази много малка промяна по Y, която следва от дадена много малка промяна на Х? Това ни дава представа за граничната стойност на наклона, когато преминаваме от наклона на секуща права към наклона на допирателна. Погледнато по такъв начин, може да разбереш малко по-добре употребата на диференциалите или алгебричното им образуване. Нека сега умножа двете страни по тази много малка промяна на Х. Да се върнем на голямата картинка: този метод е често срещан във въвеждащите уроци за диференциални уравнения, за уравнения с повече от една променлива и за математически анализ. Но не е строго позволено математически да се използват диференциалите като алгебрични изрази. Макар да не е математически строго позволено да се извършват такива действия, те доказано са много полезни. Като напредваш с математиката ще видиш и строги определения на диференциалите. От тях ще получиш по-добра представа в кои случаи е позволено да се използват така, и къде не. Но идеята тук е, че ако ти се струва странно да умножаваш или да раделяш двете страни на тези диференциали, това твое усещане е напълно обосновано математически, защото тези действия не са строго позволени, особено ако искаш изключителна прецизност. Но мога да ти кажа, че в началните курсове това е подходящ инструмент, когато изследваш или преработваш някои от тези основни диференциални уравнения.