Решен пример: идентифициране на уравнения с отделящи се променливи

Кои от тези диференциални уравнения са с отделящи се променливи? Приканвам те да оставиш видеото на пауза и да опиташ да разбереш. Моят начин да разбера това е да опитам да намеря производната, и ако успея да го направя, ако получа DY/DX равно на някаква функция от Y по друга функция от Х, тогава уравнението ще е с отделящи се променливи. Успях да го преобразувам, като разделих двете страни на G(Y), получих 1 върху G(Y), което също е функция на Y, по DY равно на H(Х) по DX. Ще стигнеш от това първо уравнение до второто уравнение, като просто разделиш двете страни на G(Y) и умножиш двете страни по DX. Тогава ще е ясно, че уравнението е с отделящи се променливи. Можеш да интегрираш двете страни. Но най-важното е да намериш производната и да видиш дали може да го преобразуваш във форма, която има произведение на функция на Y по функция на X. Да направим това с първото уравнение тук. Ако извадя Y от двете страни... Искам да намеря производната на Y спрямо Х. Ще получа Х по Y прим, това е производната на Y спрямо Х, е равно на 3 – Y. Извадих Y от двете страни. Да видим, ако разделя двете страни на Х, дали ще получа производната на Y спрямо Х. Ще го запиша така, равно на 3 минус Y по 1 върху Х. Очевидно успях да запиша производната като произведение на функция от Y по функция от Х. Значи уравнението наистина е с отделящи се променливи. Мога да ти покажа, като умножа двете страни по DX и ги разделя на 3 – Y, ще получа 1 върху 3 минус Y по DY равно на 1 върху Х по DX. Oчевидно това уравнение е с отделящи се променливи. Сега да преминем към второто уравнение. Ще използвам същия метод, но ще пиша в различен цвят, за да не се смесят сметките ни. И така, да видим второто уравнение: ако извадя 2Х и 2 Y от двете страни... да не бързам толкова, опитвам се с две неща едновременно. Искам да извадя 2Х от двете страни. После ще извадя 2Y от двете страни. И така, ще извадя 2Y от двете страни. Ще добавя единицата също към двете страни, събирам с 1 отляво и отдясно. И какво ще получа, като направя това? Това ще стане нула, това също е нула, тук също има нула. Остава 2 по производната на Y по отношение на Х, равно на минус 2Х минус 2Y плюс 1. Сега виждам, че мога и да разделя всичко на 2; ще получа производната на Y по отношение на Х равна на, отдясно ще получа, като разделя на две, минус X минус Y плюс 1/2. Не мога да видя как да запиша това като произведение на функция на X и функция на Y. Мисля, че това уравнение не е с отделящи се променливи. Не знам как бих могъл да представя това като функция на Х по функция на Y. затова казвам, че това уравнение не е с отделящи се променливи. Следващото уравнение вече е разписано като функция на Х по функция на Y. Очевидно то е с отделящи се променливи. Ако трябва да направя отделянето, мога да преобразувам производната като DX / DY. Умножавам двете страни по DX. После ги разделям на този израз и ше получа 1 върху Y на квадрат плюс Y по DY равно на Х на квадрат плюс Х по DX. Очевидно променливите се отделят. И така, макар този да е последният пример, той е интересен. Тук производната е разпределена ето така. Да видим, ако извадим пред скоби производната, ще изразя DY / DX. Изнасям я пред скоби. Получавам DY / DX по Х плюс Y равно на Х. Сега да разделим двете страни на (X + Y), получавам DY / DX равно на Х върху (Х + Y). С познатите ми средства на алгебрата как да разделя Х от Y, за да запиша това като функция на Х по функция на Y? Не виждам такъв начин. Значи това не е с отделящи се променливи. Само първото и третото уравнение са.