Решен пример: диференциални уравнения с отделящи се променливи

В това видео ще се упражним да намираме общи решения диференциални уравнения с отделящи се променливи. Нека имаме диференциалното уравнение dy/dx, производната на у спрямо х, която е равно на e^x/у. e^x върху у. Да видим мога ли да намеря общо решение на това диференциално уравнение. Ще ти дам голяма подсказка. Това е диференциално уравнение с отделящи се променливи. Когато имаме такъв вид уравнения с отделящи се променливи, искаме да отделим всички у и dу от едната страна, а после всички х и dх от другата страна. Всъщност ние един вид приемаме тези диференциали като променливи, което е нещо като трик в математиката. Но това е всичко, което правим. Да видим. Ако умножим двете страни по у, значи умножаваме двете страни по у, какво ще получим? Ще получим у по производната на у спрямо х, е равно на е^х. Сега можем да умножим двете страни по диференциала dх; умножаваме двете страни по dх, тези се съкращават. Остава ни у . dу = е^х . dх. И сега можем да интегрираме двете страни. Да го направим. Колко е интеграл от у.dу? Тук просто използваме наобратно правилото за диференциране на степени. Просто ще увеличим степента, значи това е у на първа степен, но когато вземем примитивната функция, ще стане у^2, което после ще разделим на увеличената степен, значи е равно на... интересното при е^х е това, че и примитивната функция, и производната са е^х, е равно на е^х + с. Можем да го оставим така, ако искаме. Всъщност това ето тук не е явна функция. Тук у не е явна функция на х. Можем да кажем, че у е равно на + или – корен квадратен от два пъти всичко това тук, но това е една много обща зависимост, която би удовлетворила това уравнение с отделящи се променливи. Да видим още един пример. Нека да имаме производната на у спрямо х, която е равна... да кажем, че е равна на y^2 . sin(x). Спри видеото и опитай да намериш общото решение. Отново, искаме да разделим всички у и всички х. Можем да умножим двете страни по у^(–2), по у^(–2) по у^(–2), тук става едно, и после ще умножим двете страни по dх. Ако умножим тук по dх, тези се съкращават, умножаваме по dх тук, и ни остава y^(–2)dy, което е равно на sin(x).dx, и сега можем просто да интегрираме двете страни. Коя е примитивната функция на y^(–2)? Отново използваме наобратно правилото за диференциране на степени. Увеличаваме степенния показател, който ще стане y^(–1) и после делим това на увеличения степенен показател. Значи делим на –1. Това просто ще стане отрицателно. И това ще е равно на... Каква е примитивната функтция на sin(х)? Може би ще забележиш, че ако сложа тук знак минус, и тук знак минус, примитивната функция на –sin(х) е равна на cos(х). Значи цялото това нещо става cos(х), или друг начин: мога да умножа двете страни по минус 1, така че тези двете ще станат положителни, и така мога да напиша 1/у е равно на cos(х), всъщност... ще го напиша така: плюс с, да не забравяме + с. Плюс с, и взимам реципрочното на двете страни, ако искам да намеря у, мога да напиша у = 1/cos(х) + с като общо решение. И сме готови. Това беше удивително забавно.