Изчисляване на средната стойност на функция в даден интервал

Нека е дадена функцията f(х) = х^2 + 1. Искаме да намерим средната стойност на функцията f в интервала, в затворения интервал между нула и... нека да е между 0 и 3. Насърчавам те да спреш видеото, особено ако вече си гледал/а другите видео уроци, в които разгледахме средна стойност на функция, и да намериш средната стойност. Каква е средната стойност на функцията f в този интервал? Предполагам, че вече опита. Да онагледим какво се случва тук и после да намерим средната стойност. Това е оста у. Това е оста х. В интервала между 0 и 3... ето това е нула, това е едно, две, три. Интервалът е затворен. Когато х =0, f(0) е равно на 1. Значи сме ето тук. f(1) е равно на 2. Това е едно, две, три. Всъщност ще направя деленията по-малки от това. Трябва да стигна до 10. Значи това ще бъде 10. Това ще бъде пет. После имаме едно, две, три. Най-трудно е да ги направя еднакви. Това тук ще бъде в средата. Много добре, и сега да намеря средата. После имаме това. Добре. Значи ще е тук. Ето тук. Очевидно скалите по х и по у са различни. Две на квадрат плюс едно е равно на пет. Три на квадрат плюс едно е равно на 10. Значи ще изглежда ето така. Ето така ще изглежда нашата функция. Това е графиката на у = f(х). Търсим средната стойност в затворения интервал между нула и три. Между нула и три. Един начин да го разглеждаме, е да използваме формулата, но е важно да разбираме какво точно означава тази формула. Повтарям, че не е нужно да я запаметяваш, защото тя следва от това, което е нейният смисъл. Средната стойност на функцията ни се получава чрез определения интеграл в този интервал. Това по същество е площта под кривата. Значи това е определен интеграл от нула до три от f(х), което е (х^2 + 1)dх. Сега ще намерим площта ето тук, като за целта ще я разделим на широчината на интервала, за да получим средната височина, или средната стойност на функцията. Значи ще разделим на (b – а), или (3 – 0), което е просто 3. И сега просто трябва да изчислим това. Това е равно на 1/3 по... Да намерим примитивната функция на x^2. Тя е х^3 върху 3. Примитивната функция на 1 е х, и сега ще я изчислим от нула до три. Това ще бъде равно на 1/3 по стойността и в 3. Ще използвам друг цвят. Когато я изчислим в 3, получаваме 3^3, делено на 3. Това е 27 делено на 3. Значи 9 + 3. Изчисляваме при нула: минус 0. Това е просто нула. Изчисляваме за нула и получаваме нула. И така ни остава... Ще направя скобите в същия цвят. Това ще бъде 1/3 по 12. 1/3 по 12 е равно на 4. Това е равно на четири. Това е средната стойност на нашата функция. Средната стойност на нашата функция в този интервал е равна на четири. Обърни внимание, нашата функция достига тази стойност в някаква точка от интервала. В някаква точка от интервала, по-малко от две, но повече от едно. Можем да я наречем С. Изглежда функцията достига тази стойност. Това е принципно вярно. Това е теоремата за средната стойност за интеграли и ние ще се задълбочим още малко тук. Но можеш да видиш, че това изглежда като средна стойност. Ако си представиш една кутия, ако умножиш тази височина, тази средна стойност по широчината, ще получиш тази площ ето тук, и тази площ ето тук е равна на нея. Площта, която щриховам в жълто ето тук е равна на площта под кривата, защото умножаваме средната височина по широчината, което е равно на площта под кривата. Надявам се, че това ти беше интересно.