Теорема за крайните нараствания (теорема на Лагранж)

Имаме много видео уроци за теоремата за средните стойности, но ще направя кратък преговор, така че да можем да видим връзката между теоремата за средните стойности, която учихме в диференциалното смятане, как тя се свързва с това, което учим за средната стойност на функция при определените интеграли. Теоремата за средните стойности твърди, че ако имаме някаква функция, която е непрекъсната в затворен интервал, значи интервал, който включва крайните точки, от а до b, и е диференцируема, така че производната ѝ е определена в отворения интервал от а до b, не е задължително да е диференцируема в крайните точки, стига да е диференцируема между крайните точки, тогава ние знаем, че съществува някаква стойност, някакво число с, такова, че е между крайните точки на интервала, значи а < c < b, с принадлежи на този интервал, И – това е същината – производната на тази функция в тази точка – може да я разглеждаш като наклона на допирателната в тази точка, е равна на средната скорост на изменение в този интервал, или можеш даже да я разглеждаш като наклона между двете крайни точки. Значи наклонът между двете крайни точки ще бъде равен на изменението на у, което ще бъде изменението на стойността на твоята функция. Значи (f(b) – f(а))/(а – b). Разгледахме това по-задълбочено, когато за пръв път го срещнахме в диференциалното смятане, но само за илюстрация, защото мисля, че винаги е полезно: теоремата за средните стойности, която учихме в диференциалното смятане ни казва, че... това е а, това е b, функцията прави нещо интересно, значи това е f(а), а това е f(b), и тази стойност ето тук, където имаме изменението на стойността на функцията, това точно тук е f(b) – f(а), тази промяна на стойността на функцията, делена на изменението по оста х, значи изменението на у върху изменението на х, това ни дава наклона, ето тук ни дава наклона на тази права, която свързва тези две точки, тази стойност. Теоремата за средната стойност ни казва, че има някаква точка с между a и b, където ще имаме същия наклон, така че има ПОНЕ едно място, може да е ето тук, където имаме точно същия наклон, съществува точка с, в която наклонът на допирателната в тази точка е равен... това тук е с, и всъщност може да има няколко точки с, това е друг кандидат за точка с. Но има поне една точка с, където наклонът на допирателната е равен на средния наклон в целия интервал, и повтарям, ние приемаме, че функцията f е непрекъсната, т.е. е диференцируема. Когато видиш това, може би това ти напомня за случая, когато видяхме как да дефинираме... или бих казал на формулата за средната стойност на една функция. Спомни си, че средната стойност на една функция... казахме, че средната стойност на една функция е равна на 1/(b – а), обърни внимание, 1/(b – а) тук в знаменателя имаме b – а, по определен интеграл от а до b на f(х) dх. Това е интересно, защото тук имаме производна, тук имаме интеграл, но може би можем да намерим връзка между тях. Може би можем да намерим връзка между тях. Може би тук ти хрумва, че може би можем да преработим този числител ето тук някак до този вид. Насърчавам те да спреш видеото и да опиташ самостоятелно, а аз ще дам една голяма подсказка: ако вместо f(х) тук е f'(х), какво ще стане – опитай да го направиш. Сега отново ще напиша всичко това, това ще е равно на... Това ето тук е съвсем същото като определен интеграл от а до b от f'(х)dх. Помисли. Ще намерим примитивната функция на f'(х), която е f(х), и после трябва да я изчислим за b, f(b), от което вадим стойността ѝ за а, минус f(а). Тези двете са идентични. После можем да разделим на (b – а). Сега започва да става интересно. Единият начин да го разглеждаме е, че трябва да има с, което има средна стойност, трябва да има такова с, че когато намираш производната за с, тя представлява средната стойност на производната. Друг начин да го разглеждаме е, ако напишем g(х) = f'(х), тогава сме много близко до това, което получихме тук, защото това ето тук ще бъде g(с), запомни, че f'(с) е равно на g(с), е равно на 1/(b – а), така че съществува с, когато g(с) = 1/(b – а), по определен интеграл от а до b от g(х)dх, f'(х) е равно на g(х). Друг начин да го разглеждаме е, че това всъщност е друг вид на теоремата за средната стойност, наречена теорема за средната стойност за интеграли. Ще запиша съкратено – теорема за средната стойност за интеграли или за интегриране, което, за да бъде малко по-формално, ако имаш функция g, ако g е... ще слеза малко надолу – което ни казва, че ако g(х) е непрекъсната в този затворен интервал от а до b, тогава съществува точка с в този интервал, в която g(с) е равна на... какво е това? Това е средната стойност на нашата функция. Съществува с, за което g(с) е равно на средната стойност на функцията в този интервал. Това беше нашето определение за средна стойност на функция. Това е просто друг начин на формулиране, по който може да видиш теоремата за средната стойност на интегралите. И само да ти покажа, че те са наистина много близко свързани, използват различен начин на записване, но всъщност това е една и съща идея като в теоремата за средната стойност, която учим в диференциалното смятане, но сега се използва различен начин за записване, което дава малко по-различно тълкуване. Разглеждахме го в диференциалното смятане, там разглеждахме една точка, където наклонът на допирателната на функцията в тази точка е същият като средното изменение, така че когато сме в режим на диференциране, и мислим за наклони, за наклоните на допирателните, а сега в режим на интегриране ние разглеждаме много повече средната стойност, средната стойност на функцията, така че тук има точка с, в която g(с)... има някаква точка с, където функцията, изчислена в тази точка е равна на средната стойност, така че друг начин да го разглеждаме е, че ако начертая g(х), това е оста х, това е графиката на у = g(х), което е същото нещо като f'(х), но ние току-що го преработихме, за да бъде по-сходно с формулата за средната стойност, и разглеждаме интервала от а до b. Вече знаем как да изчислим средната стойност, така че може би средната стойност е ето тук, значи това е g средно, значи средната стойност е това. Теоремата за средната стойност на интегралите ни казва, че има някакво с, където нашата функция трябва да приеме такава стойност за с, като с принадлежи на този интервал.