If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Метод на кръговете – ротация на графиката на функцията около оста у

Намиране на обема на тяло, получено при ротация на графика на функция около оста y, чрез метода на кръговете. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Тук имаме част от графиката на у = х^2. Искаме да намерим обема на друго ротационно тяло, получено при въртене около дадена ос. Но този път няма да го въртим около оста х, искам да го завъртим около оста у. И вместо между 0 и някаква точка, ще го завъртим между у = 1 и у = 4. Сега ще направя една графика ето тук. Ще взема тази крива. И вместо да я завъртя около оста х, както в предишните няколко клипа, ще я завъртя около оста у. Ще я завъртя ето така. Какво тяло получаваме? Да видим дали мога да го илюстрирам. Тази основа ще изглежда горе-долу така, все едно можем да виждаме през нея. После тази част тук горе, горната част ще изглежда ето така. Интересува ни обема между тези двете. Интересува ни тази част ето тук, а не до самото дъно. Малко ще го оцветя. Изглежда горе-долу така. Ще го нарисувам отделно, за да можеш да си го представиш. Ще използвам различна гледна точка. Ще го начертая така, все едно оста у излиза тук отзад, ще изглежда горе-долу ето така. Ще изглежда така – тук е малко по-тясно, ето така. И после е отрязано ето тук. Не знам как да нарека това тяло. Но се надявам, че си го представяш. Ще го оцветя отново в жълто. Това не е жълто. Тази визуализация вероятно е най-трудната част. Но не стана толкова зле. Изглежда горе-долу ето така. Прилича малко на трюфел или на чаша. Ето тук е оста у, ще я начертая, за да си представим как е ориентирано. Значи оста у се подава ето така в този пример. После отива надолу. А оста х минава ето така. Малко го наклоних. Малко го наклоних, за да може да се вижда под различен ъгъл. Горната част вдясно е тази горна част ето тук. Това ти дава представа как изглежда тялото. Но още не сме помислили как всъщност ще намерим обема му. Тук можем, вместо дискове с дебелина dх, можем да вземем дискове с дебелина dу. Да поразсъждаваме върху това. Да направим диск при определена стойност на у. Да вземем дадена стойност у, и да направим диск ето тук, който има същия радиус като тялото в тази точка. Това е нашият диск. Ето го нашият диск. Той има дебелина – вместо dх, дебелината е dу. Значи тази дебелина тук е dу. Какъв е обемът на този диск изразен чрез у? Вероятно се досещаш, че ще използваме определен интеграл спрямо у. И какъв е обемът на това нещо? Както и в последното видео, ще намерим площта на тази страна за всеки от тези дискове. Предполагам, че можем да кажем лицето на тази монета. Това лице е πr^2. Ако намерим този радиус ето тук, ще намерим лицето. Колко е този радиус? Можем да изразим радиуса чрез у, просто трябва да преработим това и да изразим у. Вместо у = x^2, можем да коренуваме двете страни, и ще получим корен квадратен от у е равно на х. Като това е дефинирано само за положителните стойности на у, но това не е проблем, защото сме над положителната част на оста х. Значи тази функция тук можем да представим като х е равно на квадратен корен от у. Всъщност ние гледаме тази част от нея. Това тук не ни интересува. Интересува ни само тази част. Сега изразихме тази графика, тази крива като х е функция от у. Ако го направим по този начин, тогава колко е този радиус? Радиусът тук ще бъде f(у). Той е корен квадратен от у. Радиусът е корен квадратен от у. Той е функция от у. Не искам да те обърквам, ако си помислил, че е f(х), всъщност е f(у). Радиусът е функция от у. Ще го означа с g(у). Това е квадратен корен от у. Значи лицето ще е равно на πr^2, което означава, че лицето на тази част е π по радиуса на квадрат. Радиусът е квадратен корен от у. Значи това е равно на... пи по корен квадратен от у на квадрат, което е просто πу. За да намерим обема, трябва просто да умножим площта на това лице по дебелината, по dу. Обемът на всеки от тези дискове е равен на πу по dу. Това е обемът на един диск. За да намерим обема на цялото тяло, просто трябва да сумираме всички тези дискове, за всички стойности на у между у = 1 до у = 4. Да го направим. Това е определен интеграл от у = 1 до у = 4. Само да припомня, определеният интеграл е много специален сбор. Събираме обемите на всички тези дискове. Но взимаме границата на тази сума, тъй като те стават все по-малки, все по-малки и по-малки, а броят на тези дискове става все по-голям и по-голям. И когато тези стават безкрайно малки, и имаме безкраен брой дискове, тогава тази сума се приближава до обема, всъщност обемът е границата. За да намерим обема на това тяло, просто трябва да изчислим определения интеграл спрямо у. Как ще направим това? На колко е равно това? Можем да изнесем пи отпред. Става пи по примитивната функция на у, която е просто у^2/2, изчислена в интервала от 1 до 4, което е равно на π по... Да я сметнем за у = 4, получаваме 16/2. Ще го напиша по този начин. (4^2)/2 – (1^2)/2, което е равно на π по... 16/2 е 8, минус 1/2. Значи това е 16/2 – 1/2, което е 15/2. Значи това е равно на 15/2 по π. Можем да го запишем като 7 и 1/2. Но това е малко по-ясно. И сме готови. Намерихме обема на нашето тяло, когато го завъртим не около оста х, а го завъртяхме около оста у, което беше доста интересно.