Тук са изобразени две криви. Свикнали сме да виждаме
функциите като у = f(х), а тук имаме х = f (у). Всъщност можем да преработим
горния израз като функция от у. Втората функция, за да
бъде различно, можем да я напишем
като g(у). Повтарям, това е функция от у. В това видео нашата задача е
да намерим начин да намерим тази площ, която е в светло синьо между
тези две криви. Препоръчвам ти да спреш
видеото и да опиташ самостоятелно. Една голяма подсказка тук е, че ще интегрираме спрямо у, определен интеграл, където
границите са по отношение на у. Например това тук е, най-ниската точка е
пресечната точка ето тук, това ще е нашата долна граница
спрямо у. Нека да я означим у1. После това тук горе
е нашата горна граница. Ако разгледаме къде
се пресичат тези две криви, ако погледнем у-координатата
на пресечните точки, получаваме двете граници
на нашия интеграл. Ще интегрираме от у1 до у2. Интегрираме спрямо у, значи dу. И какво ще събираме? Когато интегрираме, ние все едно събираме площта на
безкрайно тънки правоъгълници. В този случай това са безкрайно
плоски правоъгълници, понеже ги разглеждаме като dу. dу е височината на всеки
от тези правоъгълници. А каква ще бъде в този случай широчината или дължината
на тези правоъгълници? В този интервал, от у1 до у2, нашата синя функция f(у) има по-големи стойности
от g(у). Така че тази дължина ето тук,
това ще бъде f(у), тази стойност на х минус тази
стойност на х, минус g(у). Това ще бъде f(у) минус g(у). Ние знаем колко са f(у) и g(у). Най-хитрата част е, да намерим пресечните точки. Да помислим къде
се пресичат двете криви. И двете са равни на х, значи можем да приравним
тези изрази за у. Знаем, че отрицателно... Ще го направя с друг цвят, знаем че –у^2 + 3у + 11 ще бъде равно на това, ще е равно на у^2 + у – 1. Затова просто да извадим
всичко това от двете страни, така че отдясно
да остане само нула, а от лявата страна ще имаме
израз от втора степен. Изваждаме у^2, изваждаме у, и после изваждаме –1,
което е все едно да прибавим 1. Тук ще направим същото нещо, –у + 1. И накрая ни остана, надявам се, прост израз от втора степен. Това ще бъде –2у^2 + 2у. Вярно ли е това? Да, плюс 2у плюс 12 е равно на нула. И после можем да изнесем
пред скоби –2, и получаваме
–2(у^2 – у – 6) = 0. Това можем да разложим
с малко налучкване. Кои две числа, като ги съберем,
дават –1? А като ги умножим, дават –6? Това са –3 и 2. Значи тук ще бъде –2(у – 3)(у + 2). Това просто е разлагане на полином
от втора степен. Вярно ли го направих? Да, изглежда вярно,
и е равно на нула. Кои са точките на пресичане? Точките на пресичане
ще бъдат у = 3 и у = –2. Това тук е у= –2, а горната граница е у = 3. И сега само трябва да сметнем
това от –2 до 3. Да го направим. Ще изчистя това, за да
имам повече място. Това е равно на интеграл
от –2 до 3 от –у^2 + 3у + 11 минус всичко това. Ако разкрием скобите
и поставим този отрицателен знак, става –у^2 минус у плюс 1, а после dу. Това е равно на определен
интеграл от –2 до +3 от... да видим, –у^2 минус у^2, това е –2у^2, а после 3у – у става 2у. После 11 плюс 1 е 12,
виждаме това сега, като търсим у, dу. И така, на какво е равно това? Просто намираме
примитивната функция. Това тук ще бъде –2. Да увеличим степенния
показател, у^3. Делим на този степенен показател,
правилото за производна от степен наобратно, плюс 2у^2, делено на 2,
което е просто у^2, просто обратното на намирането
на производна от степен, и после + 12у. И сега ще сметнем това
за 3 и за –2. Ако заместим с 3,
ще получим, да видим, –2 по 27, върху 3 плюс 9, плюс 36. После искаме да извадим,
минус всичко това, като заместим с –2. Това ще бъде –2 по –8, върху 3, плюс 4, минус 24. Сега да направим сметките. Това 27 делено на 3 е 9. Това е –18. Плюс 9 става –9, плюс 36, всичко това
ще е равно, всичко това в синьо е 27. Вярно ли е? –18 плюс 9, да 27. Сега всичко това в червено. Това е отрицателно
по отрицателно, значи 16 върху 3, плюс 4,
минус 24. Това става 16 върху 3,
и после минус 20. После имаме този минус
тук, така че, като разкрием скобите,
става +20, минус, вместо 16/3 можем да
напишем 5 и 1/3, минус 5 и 1/3. И какво получаваме? Ще преместя малко надолу,
или може би надясно, за да имам повече място. Това ще бъде равно на – аплодисменти, моля, 47 минус 5 минус 1/3, което е равно на, 47 – 5 е 42, минус 1/3, отново аплодисменти, 41 и 2/3. И сме готови.