Площ на хоризонтален участък между криви

Тук са изобразени две криви. Свикнали сме да виждаме функциите като у = f(х), а тук имаме х = f (у). Всъщност можем да преработим горния израз като функция от у. Втората функция, за да бъде различно, можем да я напишем като g(у). Повтарям, това е функция от у. В това видео нашата задача е да намерим начин да намерим тази площ, която е в светло синьо между тези две криви. Препоръчвам ти да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Една голяма подсказка тук е, че ще интегрираме спрямо у, определен интеграл, където границите са по отношение на у. Например това тук е, най-ниската точка е пресечната точка ето тук, това ще е нашата долна граница спрямо у. Нека да я означим у1. После това тук горе е нашата горна граница. Ако разгледаме къде се пресичат тези две криви, ако погледнем у-координатата на пресечните точки, получаваме двете граници на нашия интеграл. Ще интегрираме от у1 до у2. Интегрираме спрямо у, значи dу. И какво ще събираме? Когато интегрираме, ние все едно събираме площта на безкрайно тънки правоъгълници. В този случай това са безкрайно плоски правоъгълници, понеже ги разглеждаме като dу. dу е височината на всеки от тези правоъгълници. А каква ще бъде в този случай широчината или дължината на тези правоъгълници? В този интервал, от у1 до у2, нашата синя функция f(у) има по-големи стойности от g(у). Така че тази дължина ето тук, това ще бъде f(у), тази стойност на х минус тази стойност на х, минус g(у). Това ще бъде f(у) минус g(у). Ние знаем колко са f(у) и g(у). Най-хитрата част е, да намерим пресечните точки. Да помислим къде се пресичат двете криви. И двете са равни на х, значи можем да приравним тези изрази за у. Знаем, че отрицателно... Ще го направя с друг цвят, знаем че –у^2 + 3у + 11 ще бъде равно на това, ще е равно на у^2 + у – 1. Затова просто да извадим всичко това от двете страни, така че отдясно да остане само нула, а от лявата страна ще имаме израз от втора степен. Изваждаме у^2, изваждаме у, и после изваждаме –1, което е все едно да прибавим 1. Тук ще направим същото нещо, –у + 1. И накрая ни остана, надявам се, прост израз от втора степен. Това ще бъде –2у^2 + 2у. Вярно ли е това? Да, плюс 2у плюс 12 е равно на нула. И после можем да изнесем пред скоби –2, и получаваме –2(у^2 – у – 6) = 0. Това можем да разложим с малко налучкване. Кои две числа, като ги съберем, дават –1? А като ги умножим, дават –6? Това са –3 и 2. Значи тук ще бъде –2(у – 3)(у + 2). Това просто е разлагане на полином от втора степен. Вярно ли го направих? Да, изглежда вярно, и е равно на нула. Кои са точките на пресичане? Точките на пресичане ще бъдат у = 3 и у = –2. Това тук е у= –2, а горната граница е у = 3. И сега само трябва да сметнем това от –2 до 3. Да го направим. Ще изчистя това, за да имам повече място. Това е равно на интеграл от –2 до 3 от –у^2 + 3у + 11 минус всичко това. Ако разкрием скобите и поставим този отрицателен знак, става –у^2 минус у плюс 1, а после dу. Това е равно на определен интеграл от –2 до +3 от... да видим, –у^2 минус у^2, това е –2у^2, а после 3у – у става 2у. После 11 плюс 1 е 12, виждаме това сега, като търсим у, dу. И така, на какво е равно това? Просто намираме примитивната функция. Това тук ще бъде –2. Да увеличим степенния показател, у^3. Делим на този степенен показател, правилото за производна от степен наобратно, плюс 2у^2, делено на 2, което е просто у^2, просто обратното на намирането на производна от степен, и после + 12у. И сега ще сметнем това за 3 и за –2. Ако заместим с 3, ще получим, да видим, –2 по 27, върху 3 плюс 9, плюс 36. После искаме да извадим, минус всичко това, като заместим с –2. Това ще бъде –2 по –8, върху 3, плюс 4, минус 24. Сега да направим сметките. Това 27 делено на 3 е 9. Това е –18. Плюс 9 става –9, плюс 36, всичко това ще е равно, всичко това в синьо е 27. Вярно ли е? –18 плюс 9, да 27. Сега всичко това в червено. Това е отрицателно по отрицателно, значи 16 върху 3, плюс 4, минус 24. Това става 16 върху 3, и после минус 20. После имаме този минус тук, така че, като разкрием скобите, става +20, минус, вместо 16/3 можем да напишем 5 и 1/3, минус 5 и 1/3. И какво получаваме? Ще преместя малко надолу, или може би надясно, за да имам повече място. Това ще бъде равно на – аплодисменти, моля, 47 минус 5 минус 1/3, което е равно на, 47 – 5 е 42, минус 1/3, отново аплодисменти, 41 и 2/3. И сме готови.