Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 3
Урок 5: Площ: хоризонтална област между кривиПлощ на хоризонтален участък между криви
Можем да използваме определен интеграл спрямо 𝘺, за да намерим площта на хоризонтален участък между кривите на две функции от 𝘺.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Тук са изобразени две криви. Свикнали сме да виждаме
функциите като у = f(х), а тук имаме х = f (у). Всъщност можем да преработим
горния израз като функция от у. Втората функция, за да
бъде различно, можем да я напишем
като g(у). Повтарям, това е функция от у. В това видео нашата задача е
да намерим начин да намерим тази площ, която е в светло синьо между
тези две криви. Препоръчвам ти да спреш
видеото и да опиташ самостоятелно. Една голяма подсказка тук е, че ще интегрираме спрямо у, определен интеграл, където
границите са по отношение на у. Например това тук е, най-ниската точка е
пресечната точка ето тук, това ще е нашата долна граница
спрямо у. Нека да я означим у1. После това тук горе
е нашата горна граница. Ако разгледаме къде
се пресичат тези две криви, ако погледнем у-координатата
на пресечните точки, получаваме двете граници
на нашия интеграл. Ще интегрираме от у1 до у2. Интегрираме спрямо у, значи dу. И какво ще събираме? Когато интегрираме, ние все едно събираме площта на
безкрайно тънки правоъгълници. В този случай това са безкрайно
плоски правоъгълници, понеже ги разглеждаме като dу. dу е височината на всеки
от тези правоъгълници. А каква ще бъде в този случай широчината или дължината
на тези правоъгълници? В този интервал, от у1 до у2, нашата синя функция f(у) има по-големи стойности
от g(у). Така че тази дължина ето тук,
това ще бъде f(у), тази стойност на х минус тази
стойност на х, минус g(у). Това ще бъде f(у) минус g(у). Ние знаем колко са f(у) и g(у). Най-хитрата част е, да намерим пресечните точки. Да помислим къде
се пресичат двете криви. И двете са равни на х, значи можем да приравним
тези изрази за у. Знаем, че отрицателно... Ще го направя с друг цвят, знаем че –у^2 + 3у + 11 ще бъде равно на това, ще е равно на у^2 + у – 1. Затова просто да извадим
всичко това от двете страни, така че отдясно
да остане само нула, а от лявата страна ще имаме
израз от втора степен. Изваждаме у^2, изваждаме у, и после изваждаме –1,
което е все едно да прибавим 1. Тук ще направим същото нещо, –у + 1. И накрая ни остана, надявам се, прост израз от втора степен. Това ще бъде –2у^2 + 2у. Вярно ли е това? Да, плюс 2у плюс 12 е равно на нула. И после можем да изнесем
пред скоби –2, и получаваме
–2(у^2 – у – 6) = 0. Това можем да разложим
с малко налучкване. Кои две числа, като ги съберем,
дават –1? А като ги умножим, дават –6? Това са –3 и 2. Значи тук ще бъде –2(у – 3)(у + 2). Това просто е разлагане на полином
от втора степен. Вярно ли го направих? Да, изглежда вярно,
и е равно на нула. Кои са точките на пресичане? Точките на пресичане
ще бъдат у = 3 и у = –2. Това тук е у= –2, а горната граница е у = 3. И сега само трябва да сметнем
това от –2 до 3. Да го направим. Ще изчистя това, за да
имам повече място. Това е равно на интеграл
от –2 до 3 от –у^2 + 3у + 11 минус всичко това. Ако разкрием скобите
и поставим този отрицателен знак, става –у^2 минус у плюс 1, а после dу. Това е равно на определен
интеграл от –2 до +3 от... да видим, –у^2 минус у^2, това е –2у^2, а после 3у – у става 2у. После 11 плюс 1 е 12,
виждаме това сега, като търсим у, dу. И така, на какво е равно това? Просто намираме
примитивната функция. Това тук ще бъде –2. Да увеличим степенния
показател, у^3. Делим на този степенен показател,
правилото за производна от степен наобратно, плюс 2у^2, делено на 2,
което е просто у^2, просто обратното на намирането
на производна от степен, и после + 12у. И сега ще сметнем това
за 3 и за –2. Ако заместим с 3,
ще получим, да видим, –2 по 27, върху 3 плюс 9, плюс 36. После искаме да извадим,
минус всичко това, като заместим с –2. Това ще бъде –2 по –8, върху 3, плюс 4, минус 24. Сега да направим сметките. Това 27 делено на 3 е 9. Това е –18. Плюс 9 става –9, плюс 36, всичко това
ще е равно, всичко това в синьо е 27. Вярно ли е? –18 плюс 9, да 27. Сега всичко това в червено. Това е отрицателно
по отрицателно, значи 16 върху 3, плюс 4,
минус 24. Това става 16 върху 3,
и после минус 20. После имаме този минус
тук, така че, като разкрием скобите,
става +20, минус, вместо 16/3 можем да
напишем 5 и 1/3, минус 5 и 1/3. И какво получаваме? Ще преместя малко надолу,
или може би надясно, за да имам повече място. Това ще бъде равно на – аплодисменти, моля, 47 минус 5 минус 1/3, което е равно на, 47 – 5 е 42, минус 1/3, отново аплодисменти, 41 и 2/3. И сме готови.