Анализ на задачи, съдържащи определени интеграли

Населението на един град нараства със скорост r(t) = 300 по е^(0,3t) човека на година, като времето t е в години. В момент t = 2 населението на града е 1200 човека. Колко е населението на града при t = 7? Кой израз може да се използва, за да се реши задачата? Всъщност от нас не се иска да отговорим на въпроса. Просто трябва да съставим израз, с помощта на математическия анализ. Препоръчвам ти да спреш видеото и да помислиш самостоятелно. Да обобщим каква информация ни е дадена. Дадена ни е функцията на скоростта на изменение. Ако искаме да намерим изменението на населението от един момент до друг момент, тогава можеш да вземеш интеграл от функцията на изменение от началния момент, който е t = 2 години, до t = 7 години. Значи ще интегрираме функцията на скоростта на изменение и това ще ни каже какво е изменението на населението от втората до седмата година. Това е, ще го запиша, това е промяната. Ще използвам символа делта за промяната, ще го запиша, промяната в броя на населението. Но те не искат от нас, не ни питат каква е промяната в броя на населението. Питат ни колко е населението на града, когато t = 7. Значи ни трябва колко е населението в t = 2 плюс промяната на населението от 2 до 7, за да получим броя на населението при t = 7. Казват ни, че броят на населението при t = 2 е равен на 1200 човека. За да намерим населението при t = 7, това ще бъде равно на 1200 плюс промяната, каквато и да е тя. Записваме интеграл от функцията на скоростта на изменение, това е скоростта на изменение на броя на населението. Този интеграл ще ни даде изменението на населението от момента t = 2 до момента t = 7. Сега виждаме, че това е отговор D. Можем набързо да разгледаме и другите варианти. Вариант b е просто изменението на населението. Ако приемем, че това и това всъщност нарастват, това ще ни даде нарастването на населението от момента t = 2 до момента t = 7. Но ние не търсим това. Ние търсим броя на населението. А това е с колко се увеличава населението от момента t = 0 до момента t = 7. Може да попиташ: Това не е ли равно на населението на града? Това ще бъде равно на населението на града, ако в момента t = 0 в града няма хора, но ние не можем да предполагаме това. Може би в града са се заселили 10 човека или 1000 човека, не знаем колко са. Да видим това тук. Тук взимаме производната на функцията на скоростта на изменение, което всъщност е малко трудно да определим какво е. Това е скоростта на изменение на скоростта на изменение в момента t = 7 минус тази в момента t = 2. Това също ще го изключа. Да направим още един пример. Тук е дадено, че дълбочината на водата в един резервоар се променя със скорост r(t) = 0,3t сантиметра в минута, като t е времето в минути. Когато t = 0 дълбочината е равна на 35 сантиметра. Колко е промяната в дълбочината на водата в течение на четвъртата минута? Спри видеото на пауза и отново опитай самостоятелно да избереш израза, който можем да използваме. В задачата се пита колко е промяната в дълбочината на водата през четвъртата минута. Ние вече казахме, че когато търсим промяната на една стойност, можем да изчислим интеграла от функцията на изменение за съответното време. Тук се пита за четвъртата минута, така че определено ще изчислим интеграл от функцията на изменение. Само трябва да изберем границите на интервала. Всички отговори тук съдържат интеграл от функцията на изменение. Интересното тук е, че ни интересува през четвъртата минута. Ще направя една числова ос, и да помислим как изглежда тази четвърта минута. Всъщност ще начертая всичко. Нека това да е r(t), можем да кажем у = r(t), а това е t. Да видим, първата минута започва от 0 до 1, втората минута е от 1 до 2, третата минута е от 2 до 3, четвъртата минута е от 3 до 4. Тази функция на изменението всъщност изглежда като линейна функция, нещо такова. Коя е четвъртата минута? Това е първата минута, втората, третата, четвъртата. Четвъртата минута започва от t = 3 до t = 4. Това ни е нужно в израза, който ни дава площта ето тук под графиката на функцията. Това е долната граница, тя е 3, а горната граница е 4. Това го виждаме ето тук, в първия вариант. Може би се изкушаваш тук, ако те обърква, че може би четвъртата минута започва след като пресечем t = 4, но това е петата минута. Това тук ни показва промяната през първите четири минути, а не само за четвъртата минута. А това тук ще бъде просто нула. Ако го изчислим, каква е промяната на стойността от три до три. Числеността не се променя, защото тук нямаме период, никакво време не минава от t = 3 до t = 3. Така че тези ги изключваме.