If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Решен пример: задача, съдържаща определен пример (алгебрично)

Използване на определен интеграл за решаване на текстова задача за нарастване на населението на един град.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Дадено ни е, че населението на един град нараства със скорост от е^1,2t – 2t човека на година, като t е в години. Когато t = 2 години, населението на града е 1500 човека. Питат ни първо – приблизително с колко нараства населението между t = 2 и t = 5, а после ни питат колко е населението при t = 5. Ако отговорим на първия въпрос, вторият въпрос всъщност е много лесен. Намираме количеството, с което нараства, а после го добавяме към това което имаме в t = 2, прибавяме нарастването към 1500. Спри видеото и виж дали можеш да го решиш самостоятелно. Ключовото тук е да преценим, че това тук представлява скоростта или колко бързо нараства населението. Това сме го правили вече в много клипове, но само за да преговорим набързо, ще начертая една крива на скоростта на изменение. Това са осите, това е оста t, а това е оста на времето. Това ни показва как скоростта на изменение се променя като функция от времето. Да кажем, че е нещо такова. Повтарям, ако кажем, че това тук че това е скоростта на изменение, това не ни казва например колко е населението. Това ни казва каква е скоростта на изменение на населението. Видяхме в предишни уроци, че ако искаме да намерим промяната на нещо при дадена скорост на изменение, в този случай това е изменението на населението, тогава трябва да намерим площта под кривата на скоростта на изменението между двата съответни момента. Защо това е логично? Представи си много малка промяна на времето ето тук. При една много малка промяна на времето, ако допуснем, че скоростта на изменение е приблизително постоянна в този много малък период от време, тогава изменението, да кажем, че измерваме скоростта на изменение на населението, натрупването, ако мога да кажа така, ще бъде скоростта на изменение по промяната във времето, което е равно на площта на този правоъгълник. Това е приблизително площта под кривата за този много, много малък период от време. Сега ние искаме да намерим площта под тази крива от t = 2 до t = 5. Вече видяхме много пъти как изразяваме това в математическия анализ. Определен интеграл от t = 2 до t = 5 от този израз, от (е^1,2t –2t)dt. Просто изчисляваме това и ще получим отговора на първия въпрос. Колко е това? Хайде да го решим. Колко е примитивната функция на е^1,2t? Ще го направя ето тук. Искам да изчисля... Ще го напиша като "e" на степен 5, или всъщност "е" на степен (6/5)t. 12/10 е същото като 6/5. "е" на степен (6/5)t по dt, това е неопределен интеграл, а аз искам да намеря примитивната функция. Тук имам 6/5, после интегрирам чрез заместване, или понякога можеш да кажеш, че това е верижното правило наобратно, което е точно така. Поставяме 6/5 тук, ако запишем 5/6 ето тук. 5/6 по 6/5, и после можем да изнесем константите в и извън интеграла, ето така. Умножаваме константите. Сега това ще е равно на 5/6, това 5/6 ето тук. Примитивната функция е много лесна. Щом имам производна относно (6/5)t, мога да намеря примитивната функция от (6/5)t, като правя интегриране чрез заместване. Когато интегрираш чрез заместване, тогава това тук става u, а това и това ще бъдат du. Но е излишно да казвам, че резултатът ще бъде 5/6 по "е" на степен (6/5)t, и ако това е неопределен интеграл, ще трябва да добавим и константа С, разбира се. Можем да направим проверка с производната на това, която естествено е "е" на степен 1,2t. Тогава интегралът ще е равен на тази част ето тук, примитивната функция е 5/6е^(6/5t). После тази част ето тук, примитивната функция на 2t e t^2, значи минус t^2. И сме готови да го изчислим за t = 5 и t = 2 и да намерим разликата. Да го изчислим, когато t = 5. Добре, това... само ще подбера подходящи цветове. Когато t = 5 имаме 5/6е^(6/5t), като 6/5 по 5 е 6, минус 5^2, значи минус 25. И от това искам да извадя. Да го сметнем за t= 2, това е 5/6е^(6/5t), 6/5 по 2 е равно на 12/5, или това е 2,4. 2,4 минус 4, 2 на квадрат е 4. И какво получаваме? Има няколко начина да го направим. Можем да запишем това като – ще го запиша така. Можем да запишем, че имаме 5/6 и 5/6, имаме 5/6 по е^6, е^6 минус е^2,4, минус, защото тук умножаваме по минус, минус е^2,4. След това имаме минус 25, само ще взема друг цвят, за да можем да ги следим. Имаме минус 25, а после имаме минус –4. Значи тук става +4. И това е –21. Ще ми трябва калкулатор, за да сметна това, затова ще го ползвам. Ще използвам калкулатора на този компютър. Готов съм. Да видим, искам да намеря е^6, това е 403. Сега искам да намеря, значи минус, 2,4, това изглежда като 24, ще го поправя, веднага щом се върна на този екран. е на тази степен, на степен 2,4. И получавам, че е равно, това, което е в скобите, е това число тук, значи по 5/6. По 5, делено на 6, това е равно на –21. –21 е равно на това. Закръглено до стотните, това ще ни даде приблизително 306,00. Значи това е приблизително 306,00. Приблизително с колко човека нараства населението между t = 2 и t = 5? Приблизително с 306 човека. Ще го запиша. Приблизително с 306 човека. Питат ни за населението на града при t = 5. При t = 2 имаме 1500 човека. После нараства през този интервал с още 306 човека. И така получаваме – заслужаваме малко аплодисменти – 1806 човека при t = 5.