Разглеждане на определения интеграл като сумарно изменение

В предишното видео започнахме да разглеждаме логиката на кривите на скоростта и какво представлява площта под кривата на скоростта. Например тази крива на скоростта може да представлява скоростта на автомобил и как скоростта му се променя по отношение на времето. Това ни показва, че скоростта реално се променя, това не е пътят като функция от времето, това е скоростта като функция от времето. Тук изглежда, че автомобилът ускорява. В момент t = 1 се движи със скорост 10 м/с, а при t = 5, да кажем, че всичко тук са секунди, значи това е петата секунда, и сега се движи с 20 метра в секунда. Значи ускорява. Връзката между функцията за скоростта и площта е такава, че ако намерим тази площ, тя е равна на промяната на разстоянието, изминато от автомобила. Скоростта в този случай е разстояние за единица време, и ако намерим площта под тази крива, това ни дава промяната на разстоянието от момент t = 1 до момент t = 5. Това не ни дава цялото разстояние, защото не знаем какво се е случило преди t = 1, ако ни интересува тази площ. Логиката тук е, че е малко по-лесно, когато работим с правоъгълници. Помисли за това, ще направя един правоъгълник, който изглежда като много добро приближение на тази площ, да кажем от t = 1 до t = 2. Какво представлява площта на този правоъгълник? За да намерим площта, трябва да умножим една секунда, това е тази широчина тук, по, приблизително, това изглежда като 10 метра в секунда. Единиците тук са 10 метра върху секунда по секунда, или 10 метра. Знаем от началната физика, даже от преди това, че когато умножим скоростта по времето, скоростта по времето ни дава пътя. Затова тук единиците са за разстояние, както виждаш, тази площ тук представлява разстояние, това е приблизително изминатият път. Ако искаш да получиш точен отговор, или точното изминато разстояние, трябва да изчислиш точно площта под кривата. Има специален начин за записване на това. Ако искаш точната площ под кривата ето тук, използваме знака за интеграл. Тази площ ето тук, можем да я означим като определен интеграл от 1 до 5 от R(t)dt. Пак да повторим какво означава това – в този случай, когато това тук е скорост? Целият този израз представлява промяната на разстоянието от t = 1 до t = 5. В този контекст да опитаме да решим един пример, каквито има в Кан Академия. В тази задача се казва: Идън върви със скорост r(t) километра в час, като времето t е в часове. Значи това са часове. Какво означава този определен интеграл от 2 до 3 r(t)dt = 6? Още преди да разгледаме тези варианти на отговор, тук виждаме, че пресмятаме интеграла от t = 2 часа до t = 3 часа и това е по същество площта под кривата на скоростта, а това е скоростта, тук говорим за скорост. Идън изминава определен брой километри в час. Интегралът означава, че от втория час до третия час Идън изминава общо 6 километра. Да видим кои от тези отговори отразяват това. "Идън изминава 6 километра всеки час." Това ни казва, че от втория до третия час Идън изминава 6 километра, но това не означава, че знаем какво се случва от t = 0 до t = 1, или от t = 1 до t = 2. Значи това го изключваме. "Идън изминава 6 километра за 3 часа." Това е често срещана грешка, хората поглеждат горната граница, и казват, че площта, представлявана от определения интеграл, показва какво разстояние общо той е изминал до тази точка. Резултатът от интегрирането не е каквото се казва в този отговор. Резултатът представлява промяната в разстоянието за време от t = 2 до t = 3. Значи ще изключим и това. "Идън изминава 6 километра през третия час." Да, това е точно това, за което говорим. От t = 2 часа до t = 3 часа Идън изминава 6 километра и можем да разглеждаме това като третия час, който започва от час 2 до час 3. "Скоростта на Идън се увеличава с 6 километра на час от t = 2 часа до t = 3 часа. Искам да поясня, това ето тук, това не е скорост, това е площта под кривата на скоростта, това е какво определените интеграли представляват. Това не ни казва как се променя скоростта, а ни казва как се променя нещото, което е свързано със скоростта показва как то се изменя, как това се променя от t = 2 часа до t = 3 часа? Така че това също не е вярно.