If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 3

Урок 2: Праволинейно движение
Математика
Интегрално смятане
Приложение на интегралите
Праволинейно движение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Задачи за движение (с определени интеграли)

Класна стая на Google
Определени интеграли обикновено се използват за решаване на задачи за движение, когато търсим местоположението на движещ се обект при дадена информация за неговата скорост. Научи как се използват и каква е съществената разлика между скорост на движение и скорост на преместване.
Задачите за движение са изключително често срещани в математическия анализ. В диференциалното смятане търсим скоростта на движещ се обект, като е дадена функцията на неговото местоположение. В интегралното смятане разсъждаваме по обратния начин: дадена ни е функцията на скоростта на движещ се обект, а ние търсим неговото местоположение или промяната в местоположението му.

Използване на определени интеграли при разглеждане на скоростта като векторна величина и на големината на скоростта

Нека една частица да се движи праволинейно с вектор на скоростта v(t)=5−t метра в секунда, като t е времето в секунди.
Дадена е графиката на функцията v. На хоризонталната ос е нанесено времето t. t е от 0 до 10. Графиката представлява права линия. Правата започва от точката (0; 5), пресича оста t в точката (5; 0) и завършва в четвърти квадрант.
Когато скоростта е положителна, това означава, че частицата се движи в посока напред успоредно на оста, а когато скоростта е отрицателна, това означава, че частицата се движи назад.
Да кажем, че ни питат за преместването на частицата (т.е. промяната на нейното местоположение) между t=0 секунди и t=10 секунди. Тъй като скоростта на преместване е е скоростта на изменение на местоположението на частицата, всяка промяна в местоположението на частицата се описва с определен интеграл.
По-конкретно ни интересува ∫010v(t)dt.
Показана е предишната графика на функцията v. Областта между графиката на функцията и оста t е оцветена от t = 0 до t = 10. Тя е разделена на две части, наляво и надясно от t = 5.
Интересно е, че преместването е ∫010v(t)dt=0 метра. (Виждаш, че двете части на оцветената област от графиката са равни по големина, но са с различни знаци).
Преместване 0 означава, че частицата се намира на едно и също място в моментите t=0 и t=10 секунди. Това е логично, когато видиш, че частицата първо се движи напред, а после назад, така че се връща на мястото, от което е тръгнала.
Една частица е представена като точка, поставена в левия край на хоризонтална ос, като t = 0 и v = 5. Частицата се движи до максимална точка вдясно, после обратно наляво към началната си позиция. Докато се движи надясно, t нараства до 5 и v намалява до 0. Когато се връща обратно назад, t се увеличава до 10 и v намалява до минус 5.
Това е симулация на движението на частицата от t=0 секунди до t=10 секунди (създадено от Geogebra).
Независимо от това, частицата беше в движение. Да кажем, че искаме да определим общия път, който частицата е изминала, въпреки че се е върнала в изходната точка. Можем ли да използвам определен интеграл за това?
Да, можем. За целта ще използваме един хитър трик. Вместо да използваме вектора на скоростта v, ще вземем само големината на вектора на скоростта |v| (т.е. абсолютната стойност на v).
Показана е предишната графика на функцията v. Показана е графиката на втора функция – абсолютната стойност на v. Графиката се състои от две отсечки. Първата се движи надолу от (0;5) до (5; 0). Втората се движи нагоре (5; 0) до (10; 5).
Големината на вектора на скоростта показва колко бързо се движим, докато векторът на скоростта показа колко бързо и в коя посока се движим. Когато движението е успоредно на някаква ос, векторът на скоростта може да има отрицателна стойност, но големината на вектора е винаги положителна стойност (или нула). Така че големината на вектора на скоростта е равна на абсолютната стойност на вектора на скоростта.
След като вече знаем големината на вектора на скоростта във всеки момент, можем да намерим общият изминат път от частицата с помощта на определения интеграл ∫010|v(t)|dt.
Показана е предишната графика на функцията от абсолютната стойност на v. Областта между графиката на функцията и оста t е оцветена от t = 0 до t = 10. Тя е разделена на две части, наляво и надясно от t = 5.
Този път получаваме положителна стойност 25 метра.

Запомни: сравнение между вектора на скоростта и абсолютната стойност на вектора на скоростта

Векторът на скоростта показва скоростта на изменение на местоположението, така че определения интеграл от него ни дава преместването на движещия се обект.
Абсолютната стойност на вектора на скоростта ни дава скоростта на изменение на изминатия път, така че определеният интеграл от нея ни дава общото изминато разстояние, независимо от местоположението.
Задача 1
Алексей трябва да реши следната задача:
Една частица се движи праволинейно и векторът на скоростта ѝ е v(t)=−t2+8 метра в секунда, където t е времето в секунди. В момента t=2 частицата се намира на 5 метра от началната точка. Колко е общото изминато разстояние от частицата между t=2 и t=6 секунди?
Кой израз трябва да използва Алексей, за да реши задачата?
Избери един отговор:

Задача 2
Маделин трябва да реши следната задача:
Една частица се движи праволинейно и векторът на скоростта ѝ е v(t) метра в секунда (както е изобразено на чертежа), където t е времето в секунди. В момента t=1 частицата се намира на 2 метра от началната точка в положителна посока. Колко е преместването на частицата между t=1 и t=6 секунди?
Кой израз трябва да използва Маделин, за да реши задачата?
Избери един отговор:

Използване на определен интеграл и начално състояние за намиране на действителното местоположение

В някои задачи за движение се търси действителното местоположение на частицата в определен момент. Запомни, че определеният интеграл може да ни даде само промяната в местоположението на частицата. За да намерим действителното ѝ местоположение, трябва да използваме началното състояние.
Задача 3
Дивия трябва да реши следната задача:
Една частица се движи праволинейно и векторът на скоростта ѝ е v(t)=3t−1 метра в секунда, където t е времето в секунди. В момента t=2 частицата се намира на 8 метра от началната точка в положителна посока. Какво е местоположението на частицата в t=7 секунди?
Кой израз трябва да използва Дивия, за да реши задачата?
Избери един отговор:

Искаш ли още да се упражняваш? Виж това упражнение.

Обобщение: Три варианта на задачи с движение, включващи определени интеграли

Задачите с движение се решават с помощта на определени интеграли, когато е даден векторът на скоростта на движещия се обект и се търси неговото местоположение. Възможни са три типа задачи:
Тип задачаОбща формулировкаПодходящ израз
Преместване"Какво е преместването на частицата между... и..." или "Каква е промяната в местоположението на частицата между... и..."∫abv(t)dt
Общо изминато разстояние"Какво е разстоянието, изминато от частицата, между... и..."∫ab∣v(t)∣dt
Действително местоположение"Какво е местоположението на частицата в..."C+∫abv(t)dt където C е началното условие

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.