Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 3
Урок 2: Праволинейно движение- Задачи за движение с интеграли: сравнение между преместване и изминато разстояние
- Анализ на задачи от движение: местоположение
- Анализ на задачи за движение: общо изминато разстояние
- Задачи за движение (с определени интеграли)
- Анализ на задачи за движение (интегрално смятане)
- Решен пример: задачи за движение (с определени интеграли)
- Задачи за движение (с интеграли)
- Средно ускорение в рамките на даден интервал от време
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Задачи за движение (с определени интеграли)
Определени интеграли обикновено се използват за решаване на задачи за движение, когато търсим местоположението на движещ се обект при дадена информация за неговата скорост. Научи как се използват и каква е съществената разлика между скорост на движение и скорост на преместване.
Задачите за движение са изключително често срещани в математическия анализ. В диференциалното смятане търсим скоростта на движещ се обект, като е дадена функцията на неговото местоположение. В интегралното смятане разсъждаваме по обратния начин: дадена ни е функцията на скоростта на движещ се обект, а ние търсим неговото местоположение или промяната в местоположението му.
Използване на определени интеграли при разглеждане на скоростта като векторна величина и на големината на скоростта
Нека една частица да се движи праволинейно с вектор на скоростта v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5, minus, t метра в секунда, като t е времето в секунди.
Когато скоростта е положителна, това означава, че частицата се движи в посока напред успоредно на оста, а когато скоростта е отрицателна, това означава, че частицата се движи назад.
Да кажем, че ни питат за преместването на частицата (т.е. промяната на нейното местоположение) между t, equals, 0 секунди и t, equals, 10 секунди. Тъй като скоростта на преместване е е скоростта на изменение на местоположението на частицата, всяка промяна в местоположението на частицата се описва с определен интеграл.
По-конкретно ни интересува integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
Интересно е, че преместването е integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 0 метра. (Виждаш, че двете части на оцветената област от графиката са равни по големина, но са с различни знаци).
Преместване 0 означава, че частицата се намира на едно и също място в моментите t, equals, 0 и t, equals, 10 секунди. Това е логично, когато видиш, че частицата първо се движи напред, а после назад, така че се връща на мястото, от което е тръгнала.
Независимо от това, частицата беше в движение. Да кажем, че искаме да определим общия път, който частицата е изминала, въпреки че се е върнала в изходната точка. Можем ли да използвам определен интеграл за това?
Да, можем. За целта ще използваме един хитър трик. Вместо да използваме вектора на скоростта v, ще вземем само големината на вектора на скоростта vertical bar, v, vertical bar (т.е. абсолютната стойност на v).
Големината на вектора на скоростта показва колко бързо се движим, докато векторът на скоростта показа колко бързо и в коя посока се движим. Когато движението е успоредно на някаква ос, векторът на скоростта може да има отрицателна стойност, но големината на вектора е винаги положителна стойност (или нула). Така че големината на вектора на скоростта е равна на абсолютната стойност на вектора на скоростта.
След като вече знаем големината на вектора на скоростта във всеки момент, можем да намерим общият изминат път от частицата с помощта на определения интеграл integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 10, end superscript, vertical bar, v, left parenthesis, t, right parenthesis, vertical bar, d, t.
Този път получаваме положителна стойност 25 метра.
Запомни: сравнение между вектора на скоростта и абсолютната стойност на вектора на скоростта
Векторът на скоростта показва скоростта на изменение на местоположението, така че определения интеграл от него ни дава преместването на движещия се обект.
Абсолютната стойност на вектора на скоростта ни дава скоростта на изменение на изминатия път, така че определеният интеграл от нея ни дава общото изминато разстояние, независимо от местоположението.
Използване на определен интеграл и начално състояние за намиране на действителното местоположение
В някои задачи за движение се търси действителното местоположение на частицата в определен момент. Запомни, че определеният интеграл може да ни даде само промяната в местоположението на частицата. За да намерим действителното ѝ местоположение, трябва да използваме началното състояние.
Искаш ли още да се упражняваш? Виж това упражнение.
Обобщение: Три варианта на задачи с движение, включващи определени интеграли
Задачите с движение се решават с помощта на определени интеграли, когато е даден векторът на скоростта на движещия се обект и се търси неговото местоположение. Възможни са три типа задачи:
| Тип задача | Обща формулировка | Подходящ израз |
|---|---|---|
| Преместване | "Какво е преместването на частицата между... и..." или "Каква е промяната в местоположението на частицата между... и..." | integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t |
| Общо изминато разстояние | "Какво е разстоянието, изминато от частицата, между... и..." | integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, \mid, v, left parenthesis, t, right parenthesis, \mid, d, t |
| Действително местоположение | "Какво е местоположението на частицата в..." | C, plus, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, v, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t където C е началното условие |
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.