Област между графиките на функции с множество граници

В това видео искам да намеря площта на тази област, която оцветявам в жълто. Това изглежда доста трудно, защото в тази област изглежда долната функция е една и съща – долната граница е y = x^2/4 –1, но имаме различна горна граница. Начинът, по който можем да се справим с това, е като разделим областта на две части, или да я разделим на две подобласти, областта отляво, и областта отдясно, където тази първа област, която аз ще оцветя даже още повече в жълто – тази първа област ето тук в целият този интервал за х. Изглежда така, сякаш х е между 0 и 1. у е равно... когато х = 1, тази функция е равна на 1. Когато х = 1, тази функция също е равна на 1. Значи това е точката (1; 1). Тук се пресичат. За тази област, тази подобласт ето тук, у равно на корен квадратен от х е горната граница през цялото време. И после имаме... можем да направим можем отделно да разгледаме площта на тази област. От х = 1 до х = 2, където у = 2 – х е горната функция. Да го направим. Първо да разгледаме тази област Това е определен интеграл от х = 0 до х = 1. Горната ни функция е квадратен корен от х. От това ще извадим долната функция – квадратен корен от х минус (х^2/4 – 1). И накрая имаме dх. Това описва тази жълта област. Вероятно се досещаш, че в тази част ето тук, разликата между тези две функции е всъщност тази височина. Ще го оцветя с друг цвят. И после умножаваме по dх. Имаме малък правоъгълник с широчина dх. И правим това за всяко х. Всяко х е различен правоъгълник. И после ги сумираме. И взимаме границата, когато промяната на х клони към 0. Това са супер, супер тънки правоъгълници, безкрайно много такива. Това е нашето определение или Римановото определение какво представлява определен интеграл. Значи това е областта отляво. По същата логика можем да намерим площта на тази част. Областта отдясно – и после просто събираме двете. Дясната област е от х = 0 до... извинявам се, от х = 1 до х = 2. Горната функция е 2 – х. От нея вадим долната функция, х^2/4 – 1. И сега просто трябва да ги сметнем. Да опростим това тук. Това е равно на определен интеграл от 0 до 1 от квадратен корен от х минус х^2/4 – 1, dх. Ще запиша всичко с един цвят. Плюс определен интеграл от 1 до 2 от 2 минус х, минус х^2/4. Изваждаме отрицателно, значи става положително 3, т.е. +1. Можем да го прибавим към това 2. И това 2 става 3. Казах, че 2 минус –1 е 3, dх. И сега трябва само да намерим примитивната функция и да я сметнем от 1 до 0. Примитивната функция от това... това е х на степен 1/2. Увеличаваме го с 1. Увеличаваме степенния показател с 1, става х на степен 3/2. Това умножаваме по реципрочната стойност на новия степенен показател – значи 2/3х^(3/2). Минус... примитивната функция на х^2/4 е х^3 върху 3, делено на 4, значи делено на 12, плюс х. Това е примитивната функция на първия интеграл. Ще сметнем за 1 и 0. После за втория интеграл примитивната функция ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12. Още веднъж го изчисляваме... всъщност не отново. Сега ще го изчислим за 2 и за 1. Тук ще сметнем това за х= 1. Става 2/3 минус 1/12 плюс 1. После от това вадим това, сметнато за 0. Но това е просто нула, така че не получаваме нищо. Ето до това се опростява жълтия израз. Сега виолетовият израз или този в цикламено, или пепел от рози, както искаш наречи цвета, смятам го първо за 2. Получаваме 6 минус... да видим, 2^2/2 е 2, минус 8/12. И от това ще извадим този израз, сметнат за х = 1. Става 3 по 1, това е 3, минус 1/2, минус 1/12. И накрая ни остава да съберем тези дроби. Да видим как ще стане. 12 изглежда най-очевидният общ знаменател. Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12. Това се опростява до колко? Това са 19/12, частта в жълто. Сега да сметна това с подходящия цвят. Значи 6 минус 2, което е 4. Можем да го представим като 48/12, което е 4, минус 8/12. И сега трябва да извадим 3, което е 36/12. Това събираме с 1/2, което е 6/12. И после прибавяме 1/12. Всичко това се опростява до... да видим, 48 –8 е 40, минус 36 е 4, плюс 6 е 10, плюс 1 е 11. Значи това става 11/12. Да видим дали го направих правилно. 48 минус 8 е 40, минус 36 е 4, 10,11. Изглежда правилно. И сега да съберем тези двете. 19 плюс 11 е 30/12. Ако искаме малко да опростим, можем да разделим числителя и знаменателя на 6. Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2. И сме готови. Намерихме площта на цялата тази област. И тя е 2 и 1/2.