Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 3
Урок 4: Площ: вертикална област между криви- Площ на област между крива и оста х
- Площ на област между крива и оста х: отрицателна площ
- Площ на област между крива и оста х
- Площ на област между криви
- Решен пример: област между криви
- Площ на областта между две криви, когато са известни крайните точки
- Площ на област между две криви
- Област между графиките на функции с множество граници
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Област между графиките на функции с множество граници
Понякога е необходимо да разделим на няколко различни части областта, оградена от графиките на функциите, защото ограждащите я графики на функциите се променят. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В това видео искам да намеря
площта на тази област, която оцветявам в жълто. Това изглежда доста трудно,
защото в тази област изглежда долната функция
е една и съща – долната граница е
y = x^2/4 –1, но имаме различна горна граница. Начинът, по който можем
да се справим с това, е като разделим областта
на две части, или да я разделим на две
подобласти, областта отляво, и областта отдясно, където тази първа област,
която аз ще оцветя даже още повече в жълто –
тази първа област ето тук в целият този
интервал за х. Изглежда така, сякаш х е
между 0 и 1. у е равно... когато х = 1,
тази функция е равна на 1. Когато х = 1, тази функция
също е равна на 1. Значи това е точката (1; 1). Тук се пресичат. За тази област, тази
подобласт ето тук, у равно на корен квадратен от х
е горната граница през цялото време. И после имаме...
можем да направим можем отделно да разгледаме площта на тази област. От х = 1 до х = 2, където у = 2 – х е горната функция. Да го направим. Първо да разгледаме тази област Това е определен интеграл от х = 0 до х = 1. Горната ни функция е квадратен
корен от х. От това ще извадим
долната функция – квадратен корен от х
минус (х^2/4 – 1). И накрая имаме dх. Това описва тази жълта област. Вероятно се досещаш, че
в тази част ето тук, разликата между тези
две функции е всъщност тази височина. Ще го оцветя с друг цвят. И после умножаваме по dх. Имаме малък правоъгълник
с широчина dх. И правим това за всяко х. Всяко х е различен
правоъгълник. И после ги сумираме. И взимаме границата, когато
промяната на х клони към 0. Това са супер, супер тънки
правоъгълници, безкрайно много такива. Това е нашето определение
или Римановото определение какво представлява
определен интеграл. Значи това е областта отляво. По същата логика можем
да намерим площта на тази част. Областта отдясно –
и после просто събираме двете. Дясната област е
от х = 0 до... извинявам се, от х = 1 до х = 2. Горната функция е 2 – х. От нея вадим долната функция, х^2/4 – 1. И сега просто трябва
да ги сметнем. Да опростим това тук. Това е равно на определен интеграл от 0 до 1 от квадратен корен от х
минус х^2/4 – 1, dх. Ще запиша всичко с един цвят. Плюс определен интеграл
от 1 до 2 от 2 минус х, минус х^2/4. Изваждаме отрицателно, значи
става положително 3, т.е. +1. Можем да го прибавим към това 2. И това 2 става 3. Казах, че 2 минус –1 е 3, dх. И сега трябва само да намерим
примитивната функция и да я сметнем от 1 до 0. Примитивната функция от това... това е х на степен 1/2. Увеличаваме го с 1. Увеличаваме степенния показател
с 1, става х на степен 3/2. Това умножаваме по
реципрочната стойност на новия степенен показател –
значи 2/3х^(3/2). Минус... примитивната функция
на х^2/4 е х^3 върху 3, делено на 4,
значи делено на 12, плюс х. Това е примитивната
функция на първия интеграл. Ще сметнем за 1 и 0. После за втория интеграл
примитивната функция ще бъде 3х – х^2/2 – х^3/12. Още веднъж го изчисляваме...
всъщност не отново. Сега ще го изчислим
за 2 и за 1. Тук ще сметнем
това за х= 1. Става 2/3 минус 1/12 плюс 1. После от това вадим
това, сметнато за 0. Но това е просто нула,
така че не получаваме нищо. Ето до това се опростява
жълтия израз. Сега виолетовият израз
или този в цикламено, или пепел от рози, както искаш
наречи цвета, смятам го първо за 2. Получаваме 6 минус... да видим,
2^2/2 е 2, минус 8/12. И от това ще извадим
този израз, сметнат за х = 1. Става 3 по 1, това е 3,
минус 1/2, минус 1/12. И накрая ни остава да съберем
тези дроби. Да видим как ще стане. 12 изглежда най-очевидният
общ знаменател. Тук става 8/12 – 1/12 + 12/12. Това се опростява до колко? Това са 19/12, частта в жълто. Сега да сметна това с
подходящия цвят. Значи 6 минус 2, което е 4. Можем да го представим
като 48/12, което е 4, минус 8/12. И сега трябва да извадим 3,
което е 36/12. Това събираме с 1/2,
което е 6/12. И после прибавяме 1/12. Всичко това се опростява до...
да видим, 48 –8 е 40, минус 36 е 4, плюс 6 е 10,
плюс 1 е 11. Значи това става 11/12. Да видим дали
го направих правилно. 48 минус 8 е 40,
минус 36 е 4, 10,11. Изглежда правилно. И сега да съберем тези двете. 19 плюс 11 е 30/12. Ако искаме малко да опростим, можем да разделим числителя
и знаменателя на 6. Това е равно на 5/2, или 2 и 1/2. И сме готови. Намерихме площта
на цялата тази област. И тя е 2 и 1/2.