Площ на област между крива и оста х: отрицателна площ

Това е графика на функцията у = cos(х). Искам да намеря площта под кривата на функцията у = f(х) и над оста х. Ще го направя за различни интервали. Първо да разгледаме площта под кривата, между х = 0 и х = π/2. Това е тази област ето тук. Ще я означим като определен интервал от 0 до π/2 от cos(х)dх. Започни, че всичко това е все едно сборът от множество супер тънки правоъгълници с широчина dх и височина f(х) за всеки правоъгълник. Имаме безкрайно голям брой от тези безкрайно тънки правоъгълници. Това е един вид смисълът на този начин на записване. Вече знаем как да решим това. Втората фундаментална теорема на математическия анализ ще ни помогне. Трябва само да намерим примитивната функция на cos(х). Намираме примитивната функция на cos(х) и после я изчисляваме за π*2 и от резултата вадим това, което сме изчислили за 0. Каква е примитивната функция на cos(х)? Какво е примитивна функция? Знаем, че когато намираме производната... Ще го напиша по следния начин. Знаем, че производната на sin(х) e cos(х). Значи примитивната функция на cos(х) е sin(х). Защо казвам, че sin(х) е примитивната функция? Не само това е примитивната функция. Мога да намеря производната на sin(х) плюс някаква произволна константа, и пак да получа cos(х). Защото производната на константа е нула. Може да е пи, може да е 5, може да е милион, може да е гугъл, може да е всякакво странно число. Но производната на това пак ще е cos(х). Затова, когато казваме, че трябва да намерим примитивната функция, ние трябва просто да намерим една от производните. sin(х) е вероятно най-простата, защото в този случай константата е 0. Хайде да го изчислим. Един начин да го запишем, е че това е примитивната функция на косинус, на cos(х) e sin(х). И ще го изчислим за π/2. От това ще извадим изчисленото за х = 0. Това ще бъде равно на... ще го напиша ето тук. Това е равно на sin(π/2) минус sin(0), като sin(π/2) е равно на 1. sin(0) е нула. Значи 1 минус 0 е 1. Площта на тази област тук тази площ е равна на 1. Сега ще направя нещо интересно. Да разгледаме тази площ. Да разгледаме площта под кривата между... да кажем между π/2 и 3π/2. Значи от тук дотук. Говорим за тази площ. Разглеждаме тази площ ето тук. Това е 3π/2. Начинът, по който описваме тази площ, е определен интеграл от π/2 до 3π/2 от cos(х)dх. Примитивната функция на cos(х) е sin(х). Изчислено от 3π/2 до π/2. Това ще бъде равно на sin(3π/2) минус sin(π/2). Колко е синус от 3π/2? Ако си представим единичната окръжност, 3π/2 е 3/4 от единичната окръжност. Ето това тук. Значи синусът е у-координатата на единичната окръжност. Това е –1. Това ето тук е –1. Това ето тук, sin(π/2) е нагоре ето така. Това е sin(π/2), което е 1. Това е интересно. Имаме –1 минус 1, което е равно на –2. Тук имаме отрицателна площ. Имаме отрицателна площ. Какво означава това? Знаем, че в реалността площта винаги е положителна. Какво означава тогава това –2? Това означава, че сега функцията е под оста х. Можем да си представим площ 2, която обаче е под оста х. Затова тук е –2. Действителната площ е 2, но понеже е под оста х, тук имаме отрицателен знак. Да видим още един интересен пример. Да сметнем определен интеграл от 0 до 3π/2 от cos(х)dх. Това означава тази цялата площ. От 0 до 3π/2. Какво мислиш, че ще получим? Хайде да го решим. Това ще бъде sin(3π/2) минус sin(0). Което е равно на –1 минус 0, което е равно на –1. Какво се случи тук? Площта под... цялата тази оранжева област, която оцветих, очевидно не е отрицателна, никоя площ не е отрицателна. Площта дори не е 1. Какво означава това? В първия пример видяхме, че тази първата площ е 1. Площта на първата област ето тук е 1. После площта на втората област е –2. Един начин да тълкуваме това е, че нетната площ над оста х е –1, или общата площ е –1. Значи от единица площ над оста х изваждаме 2 под нея. Определеният интеграл ни казва, че когато го решаваме с втората фундаментална теорема на анализа, това означава, че намираме общата площ над оста х. Ако получим отрицателно число, това означава, че общата площ... че всъщност повече площ се намира под оста х. Ако получим 0, това означава, че се компенсират. Ако искаш да видиш пример, където е 0, можеш да сметнеш интеграл от 0 до 2π. Той ще е равен на 0, защото имаме площ 1 и друга площ 1, но те се компенсират с тази площ от –2. Да го направим. Ако имаме интеграл от 0 до 2π от cos(х)dх, това е равно на sin(2π) минус sin(0), което дава 0 – 0, което е равно на 0. Очевидно имаме тази площ тук, но цялата площ над оста х се компенсира от площта, която е под оста х.