If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:54

Видео транскрипция

Дадена ни е функцията f(х) = х^2. И искаме да намерим площта под кривата у = f (х), като това е оста у. Това е оста х. Сега ще начертая функцията. Графиката на функцията изглежда ето така. Поне в първи квадрант. Ще я начертая. Мога да я начертая и във втори квадрант. Търсим площта под кривата над положителната част от оста х между х = 1 и х = 4. Омръзна ми да изчислявам приблизително площта. Искам да намеря точната площ под тази крива над оста х. Начинът, по който определяме тази конкретна област под кривата, тази част, защрихована в кафяво, е като използваме определен интеграл. Определен интеграл от 1 до 4 от f(х)dх. Обяснявам си този начин на записване, като си представя безкраен брой от много тънки правоъгълници, които събираме, за да намерим тази площ. Ще начертая един от тези много тънки правоъгълници. Ще го направя ето така. Това е един от правоъгълниците, това е друг правоъгълник. Това напомня на Риманова сума. Всъщност от тук произтича Римановият интеграл. Спомни си Риманова сума, където имаш безкраен брой от тези правоъгълници, като широчините на тези правоъгълници – така си го обяснявам аз, това е dх, а височината на този правоъгълник е функцията, изчислена за даден х в рамките на този интервал ето тук. И тази част ето тук е площта на един от тези правоъгълници, и ние ги събираме всички тях. Този знак като удължено S напомня за сигма при събирането. Събираме безкраен брой от тези безкрайно тънки правоъгълници, или площите на тези безкрайно тънки правоъгълници между 1 и 4. Ето откъде идва символът за определен интеграл. Но ние още нищо не сме направили. Само записахме това, което показва точната площ на... Между 1 и 4, под кривата на f(х) и над оста х. За да ни бъде полезно това, трябва да използваме втората фундаментална теорема на анализа, наричана понякога втора част на фундаменталната теорема на математическия анализ. Тя ни казва, че ако f има примитивна функция, значи ако имаме примитивната функция на f, значи f(х) е нейната производна, производната на някаква функция F(х), или можем да го изразим другояче, F(х) е примитивната функция на f(х). Тогава можем да изчислим това, като ще направим специално видео, за да обясня какво означава това. Можем да изчислим това, като изчислим примитивната функция на f за 4. И от това ще извадим примитивната функция, изчислена за 1. Да го направим за този пример. Само ще препиша този израз. Вместо да пиша f(х), ще напиша x^2. Значи определен интеграл от 1 до 4 за x^2dx. Сега само трябва да намерим примитивната функция. Ако f(х) е равно на x^2, каква ще бъде F(х)? Каква е примитивната функция? Може би си спомняш правилото за производна от степен, когато намираме производната спрямо х от x^3, тогава получаваме 3х^2, което е много подобно на x^2, освен че ни липсва коефициента 3. Хайде да разделим двете страни на 3. Разделяме двете страни на 3 и получаваме производната на x^3 делено на 3, което е x^2. Можеш да кажеш, че това е същото като производната спрямо х на x^3/3. Намираме производната на това. Това е 3 по 1/3. И намаляваме степенния показател, ще стане просто х^2. Значи това тук, повтарям, това е x^2. Това е равно на x^2. В този случай F(х), нашата примитивна функция, е x^3 върху 3. И само трябва да я изчислим за 4 и 1, и ще използваме начин на записване, който казва, че примитивната функция е х^3/3, и ще изчислим това... аз винаги обичам да записвам числата тук горе, изчисляваме за 4 и вадим изчисленото за 1. Понякога хората пишат тук една чертичка, казваме, че изчисляваме за 4 и после за 1. Но аз не пиша такава чертичка. Ако изчислим това за 4 и от него извадим това, което сме изчислили за 1, получаваме 4^3 е 64, значи 64/3. Ще използвам отделни цветове, значи това тук, е това, а после от него ще извадим ето това, изчислено за 1. Изчисляваме за 1, получаваме 1^3/3. Получаваме 1/3. Само да поясня, това е ето това тук. И сега можем да извадим тези две дроби. 64/3 минус 1/3, това е равно на 63/3. 3 се съдържа в 63 точно 21 пъти. Независимо какви са мерните единици, площта тук е 21 квадратни единици.