Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 3
Урок 7: Обем: квадратни и правоъгълни напречни сечения- Намиране на обем чрез напречни сечения: въведение
- Намиране на обем чрез напречни сечения: квадрати и правоъгълници (въведение)
- Намиране на обем чрез напречни сечения: квадрати и правоъгълници (без графика)
- Намиране на обем чрез напречни сечения, перпендикулярни на оста у
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Намиране на обем чрез напречни сечения, перпендикулярни на оста у
Решен пример за изразяване като определен интеграл на обема на тяло с помощта на напречни сечения, които са перпендикулярни на оста у (интегриране спрямо у).
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека R да е област,
оградена от функциите у = 4 пъти квадратен
корен от (9 – х), и осите на първи квадрант. Това е тази област в сиво
на чертежа тук. Областта R е основа
на тяло. За всяка стойност на у
напречното сечение на тялото, което е перпендикулярно на оста у,
представлява правоъгълник с основа, която лежи в R и има височина у. Изрази обема на тялото
с определен интеграл. Спри видеото на пауза
и опитай самостоятелно. Добре, сега да го направим заедно. Първо ще се опитам да
визуализирам тялото, като ще опитам чертежа
да има перспектива. Ако това е оста у, после това е оста х ето тук. Мога да пренеса областта R,
която ще изглежда някак ето така. Сега да си представим
напречното сечение на тялото. Казват ни, че сечението на тялото е перпендикулярно на оста у, така че ще избера една
стойност на у ето тук. Издигаме се перпендикулярно
на оста у. Това ни показва,
че основата лежи в R. Основата ще изглежда така, това всъщност е стойността на х,
която съответства на тази конкретна стойност на у. Тук ще напиша просто х. Височината е у. Височината е равна
на стойността на у. За да изчислим обема на един тънък отрез с
безкрайно малка дебелина, ще изразим безкрайно
малката дебелина чрез у. Можем да кажем, че
дебелината ето тук е dу. И можем да начертаем
и други сечения. Например ето тук, където стойността
на у е много по-малка, височината ще бъде ето така. Основата е съответната
стойност на х, която лежи на кривата
точно над тази двойка х и у, това ще бъде на тази крива. Това сечение
ще изглежда ето така. Повтарям отново, че ако искаме да изчислим обема, трябва да кажем, че тук
има безкрайно малък обем, който е с дебелина dу. Видяхме много пъти
при интегрирането, че обикновено разглеждаме обема на един от тези, мога да
кажа резени, и после интегрираме всички тях. Има няколко начина
да направим това. Можем да интегрираме спрямо х, но може да интегрираме
и спрямо у. Аз смятам, че тук
е много по-лесно да интегрираме спрямо у, защото вече
сме изразили нещата чрез dу. Обемът на този тънък срез ще бъде у по х по dу. Щом ще интегрираме спрямо у, трябва да изразим всичко
чрез у. Това означава да изразим
х чрез у. Просто трябва да изразим х, един начин да го направим e да повдигнем на квадрат
двете страни... Всъщност да разделим
двете страни на 4. Получаваме у/4 е равно на квадратен корен от (9 – х). Сега да повдигнем
на квадрат двете страни. у^2/16 е равно на (9 – х). Сега, да видим, можем да
умножим двете страни по –1. Значи –у^2/16 = х – 9. Сега прибавяме 9 към двете страни. И получаваме 9 – у^2/16 = х. Можем да заместим
направо тук. Това е друг начин да изразим
обема на този малък срез ето тук с безкрайно малка
дебелина, дебелина d. Ще получим у по (9 – y^2/16) dy. За да намерим обема
на цялото тяло, ще получим нещо такова, просто ще интегрираме, от у = 0 до у = 12. Интегрираме от
у = 0 до у = 12. И това е всичко, което
искат от нас в задачата, да изразим обема на тялото
като определен интеграл, но всъщност този интеграл може да се реши без калкулатор. Ако умножим двата члена тук по у, после получаваме полином спрямо у, а ние знаем как да намерим
примитивната му функция и после да сметнем интеграла.