Намиране на обем чрез напречни сечения, перпендикулярни на оста у

Нека R да е област, оградена от функциите у = 4 пъти квадратен корен от (9 – х), и осите на първи квадрант. Това е тази област в сиво на чертежа тук. Областта R е основа на тяло. За всяка стойност на у напречното сечение на тялото, което е перпендикулярно на оста у, представлява правоъгълник с основа, която лежи в R и има височина у. Изрази обема на тялото с определен интеграл. Спри видеото на пауза и опитай самостоятелно. Добре, сега да го направим заедно. Първо ще се опитам да визуализирам тялото, като ще опитам чертежа да има перспектива. Ако това е оста у, после това е оста х ето тук. Мога да пренеса областта R, която ще изглежда някак ето така. Сега да си представим напречното сечение на тялото. Казват ни, че сечението на тялото е перпендикулярно на оста у, така че ще избера една стойност на у ето тук. Издигаме се перпендикулярно на оста у. Това ни показва, че основата лежи в R. Основата ще изглежда така, това всъщност е стойността на х, която съответства на тази конкретна стойност на у. Тук ще напиша просто х. Височината е у. Височината е равна на стойността на у. За да изчислим обема на един тънък отрез с безкрайно малка дебелина, ще изразим безкрайно малката дебелина чрез у. Можем да кажем, че дебелината ето тук е dу. И можем да начертаем и други сечения. Например ето тук, където стойността на у е много по-малка, височината ще бъде ето така. Основата е съответната стойност на х, която лежи на кривата точно над тази двойка х и у, това ще бъде на тази крива. Това сечение ще изглежда ето така. Повтарям отново, че ако искаме да изчислим обема, трябва да кажем, че тук има безкрайно малък обем, който е с дебелина dу. Видяхме много пъти при интегрирането, че обикновено разглеждаме обема на един от тези, мога да кажа резени, и после интегрираме всички тях. Има няколко начина да направим това. Можем да интегрираме спрямо х, но може да интегрираме и спрямо у. Аз смятам, че тук е много по-лесно да интегрираме спрямо у, защото вече сме изразили нещата чрез dу. Обемът на този тънък срез ще бъде у по х по dу. Щом ще интегрираме спрямо у, трябва да изразим всичко чрез у. Това означава да изразим х чрез у. Просто трябва да изразим х, един начин да го направим e да повдигнем на квадрат двете страни... Всъщност да разделим двете страни на 4. Получаваме у/4 е равно на квадратен корен от (9 – х). Сега да повдигнем на квадрат двете страни. у^2/16 е равно на (9 – х). Сега, да видим, можем да умножим двете страни по –1. Значи –у^2/16 = х – 9. Сега прибавяме 9 към двете страни. И получаваме 9 – у^2/16 = х. Можем да заместим направо тук. Това е друг начин да изразим обема на този малък срез ето тук с безкрайно малка дебелина, дебелина d. Ще получим у по (9 – y^2/16) dy. За да намерим обема на цялото тяло, ще получим нещо такова, просто ще интегрираме, от у = 0 до у = 12. Интегрираме от у = 0 до у = 12. И това е всичко, което искат от нас в задачата, да изразим обема на тялото като определен интеграл, но всъщност този интеграл може да се реши без калкулатор. Ако умножим двата члена тук по у, после получаваме полином спрямо у, а ние знаем как да намерим примитивната му функция и после да сметнем интеграла.