If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:34

Видео транскрипция

Да си представим тримерно тяло, чиято основа е тази защрихована област между графиките на у = f(х) и у = g(х). Това е основата на тялото, в този лилав или цикламен цвят е основата на тялото, което един вид се подава през равнината на екрана. Тук в синьо съм начертал нещо, което можеш да си представиш като горната част на тялото. Ако направим сечение на това тяло, ето тук при тази жълта черта, ако направим сечения на тялото, които са вертикални, или може би трябва да кажа перпендикулярни на оста х, тези сечения ще бъдат равнобедрени правоъгълни триъгълници. Това сечение ще изглежда ето така, ако си го представим. То се намира ето тук. Излиза от страницата на екрана ти. Ако трябва наистина да ги извадим, тези сечения ще изглеждат ето така. Това е равнобедрен правоъгълен триъгълник, като хипотенузата на този правоъгълен триъгълник лежи върху основата на тялото. Той е равнобедрен, това е равно на това. Това е правоъгълен триъгълник, а това разстояние, разстоянието между тази точка и тази точка е равно на разстоянието между f(х) и g(х). f(х) и g(х) за тази стойност на х ето тук. Очевидно е, че това се променя, когато се променя стойността на х. За да си представим по-добре това тяло, нарисувах нашата координатна равнина. Ако я погледнем под ъгъл, като сме един вид над нея, може да започнеш да виждаш как изглежда това тяло. Отново, начертал съм основата. Начертах основата на тялото точно ето тук. Може би трябва да поясня. Нека да го направим така. Ще оцветя успоредно на тези сечения. Тук съм начертал основата. Това са другите две страни. Това е страната, която... начертах я тук. Това е поглед отгоре или от лявата страна точно ето тук. Отгоре на тази рисунка е ето тук. Когато го гледаме отгоре. След това е тази друга страна. От тази гледна точка можем да я наречем дясната страна. Тук това е един вид... когато гледаме отгоре това е долната страна. Цялата причина да правя това, защо се изкушавам да представя тялото, е че искам да опиташ да съставиш определен интеграл, който описва обема на тялото. Това доста прилича на топка за американски футбол, ако го срежем, или на топка за ръгби. Но то е и малко изкривено. Какъв е определеният интеграл, който представя обема на това тяло? Препоръчвам ти да използваш това, че сечението е в тези точки. Тези функции се пресичат в точката (0; 0) и (с; d). Можеш ли да запишеш определен интеграл, като използваш 0, с, d, f и g, за да опишеш обема на тялото? Предполагам, че спря видеото и опита, а сега да помислим заедно. Търсим обема, като един начин да разсъждаваме, е, че можем да намерим обема, можем да намерим приблизително обема, като обем на тези отделни триъгълници. Това ще бъде площта на всеки от тези триъгълници, по някаква много малка дебелина. Някаква много малка дебелина. Ще защриховам, за да покажа дебелината. Някаква много малка дебелина, която ще означим с dх. Повтарям, можем да намерим обема на всеки от тях, като намерим лицето, площта на сечението, а после да го умножим по dх. По dх, което ще ни даде... това е dх, което представлява третото измерение. Това е dх. Мога да го напиша по-прегледно. dх ни дава малко дълбочина в третото измерение. Как можем... Какъв е обемът на едно от тези триъгълни тела? Нека да означим тази височина като h. Знаем, че h е равна на f(х) – g(х). Това е разстоянието ето тук. Да го означим с h. Знаем, че h е равно... може би трябва да кажа h(х). То е функция от х. h(х) е равно на f(х) – g(х). Като знаем h, колко ще бъде площта на този триъгълник? Това е триъгълник с ъгли 45:45:90. Това е 90 градуса, този тук ще е 45 градуса. Този ще е 45 градуса. Знаем, че страните на триъгълник с ъгли 45:45:90 на квадрат са равни на хипотенузата на квадрат върху две. Това на квадрат е равно на хипотенузата на квадрат върху две. Или страната ще бъде равна на корен квадратен от две върху две по хипотенузата. Това следва директно от питагоровата теорема. Ако тази страна има дължина а, тогава и тази страна има дължина а. а^2 + a^2 е равно на хипотенузата на квадрат. Или 2а^2 е равно на квадрата на хипотенузата. а^2 е равно на хипотенузата на квадрат върху 2, или а е равно на h върху корен квадратен от 2. Което е същото като корен квадратен от 2 по h върху 2. Просто рационализирах знаменателя, умножих числителя и знаменателя по корен квадратен от 2. Ето откъде получих това. И колко ще бъде площта? Площта ще бъде основата по височината, по 1/2. Ще го запиша. Лицето ще бъде равно на на основата, която е корен квадратен от две върху 2, по хипотенузата, по височината, което е корен квадратен от 2 върху 2, по хипотенузата, по 1/2. Ако изпуснем това 1/2, ще получим лицето на целия квадрат. Това показва, че имаме триъгълник. И какво ще получим? Това е квадратен корен от 2 върху 2, по квадратен корен от две върху две, което е 1/2, и после имаме още една 1/2. Значи получихме 1/4 h^2. Вярно ли го направих? Това ще бъде 2 върху 4, което е 1/2, после още веднъж по 1/2. 1/2h^2 е площта. Сега, колко ще бъде обемът на всеки от тези триъгълници? Обемът на всеки от тези триъгълници ето тук, обемът ще бъде лицето по dХ. Това е 1/4 h^2 по дебелината, по dх. И ако интегрираме куп от тези триъгълници, от х = 0 до х = с, всъщност ще получим обема на тялото. Как ще запишем това? Търсим обема на тялото. Почти стигнахме до финала. Сега ще запиша обема. Това е обемът на една секция. Обемът на един такъв срез. Тогава колко ще бъде обемът на цялото тяло? Обемът на тялото ще бъде определен интеграл от х = 0 до х = с, от 1/4 h^2. 1/4. Знаем, че h = f(х) – g(х). Вместо h тук ще напиша (f(х) – g(х))^2 по dх. По dх и сме готови. Намерихме израз, израз за определен интеграл, ако мога да кажа така, за обема на това странно тяло, което определихме.