If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:07

Видео транскрипция

Да изчислим обемите на още няколко ротационни тела. Да кажем, че имаме графиката на у е равно на квадратен корен от х. Значи графиката ще изглежда ето така. Значи това тук е у равно на квадратен корен от х. Нека имаме графиката на у на х. Да кажем, че у = х е нещо такова. То изглежда ето така. у = х. Какво тяло ще получа при ротация на площта между тези две графики около оста х. Да го визуализираме. Това ще бъде нещо като чаша или трюфел, И после издълбаваме вътре един конус. Ще се опитам да го нарисувам колкото мога по-добре. Ще изглежда горе-долу така – отвън ще изглежда ето така. Ще изглежда ето така. Интересува ни интервалът. Интересува ни интервалът между пресечните им точки. Между тази точка и тази точка тук. Външната част ще изглежда ето така. Това е основата на чашата. Това е основата на чашата или на трюфела, тялото ще прилича на трюфел отвън. Но вероятно сме на някаква диета, не искаме да изядем целия трюфел. Затова издълбаваме конус вътре. Вътрешността практически е куха, прилича на черупка. Изрязваме в центъра конус. Правим ротация около оста х. Трюфел отвън, в който е издълбан конус отвътре. Какъв е обемът на това тяло? Ако отрежем резен от това тяло, то ще бъде... това ще бъде стената. Практически ще изчислим обема на цялата тази стена, която е завъртяна около оста х. Как ще го направим? Може би ти хрумва, че ако намерим обема на този трюфел, когато не е издълбан, и после извадим обема на този конус, ще получим обема на пространството между външната и вътрешната част на трюфела – между външността и конуса. Как ще го направим? Да намерим първо обема на външната част. Ще я нарисувам ето тук. Ще я направя тук всъщност. Ако разгледаме обема на външната част, можем да я намерим като обем на ротационно тяло. Във всяка точка радиусът на нашите дискове е равен на тази функция. Да завъртим този диск. Ще използвам различен цвят, защото е трудно да видим диска, който е в същия цикламен цвят. Това е радиус, който завъртаме наколо. Завъртам диска. Това е лицето на диска, лицето на нашия диск. Той има дебелина dx. Виждали сме го много пъти. Дебелината е dх. Обемът на диска ще бъде дебелината dх, по площта на повърхността. Площта на тази повърхност е π по радиуса на квадрат. Радиусът е равен на стойността на външната стойност, която в този случай е корен квадратен от х. Това е π по квадрата на радиуса, което е равно на π по квадрата на корен квадратен от х. Ако искаме да намерим обема на цялото тяло, на трюфела, или както искаш го наричай, преди още да издълбаем центъра, просто взимаме сумата на тези дискове, които си представяме. Това е един диск, тук има друг диск. Тук има друг диск. За всяко х имаме друг диск. И така, докато х става все по-голямо и по-голямо, дисковете имат все по-големи радиуси. Събираме обемите на всички дискове. Намираме границата, когато всеки от тези дискове става безкрайно тънък и имаме безкрайно много от тях. Но трябва да определим границите за интегриране. Какви са границите за интегриране? Какви са тези две точки тук, където те се пресичат? Можем да приравним тези двете функции. Ако сложим х е равно на квадратен корен от х кога х е равно на квадратен корен от х? Повдигаме на квадрат двете страни. Кога х^2 е равно на х? Можем да решим това и тук. Можем да го решим, тъй като има няколко начина да го направим. Но можем да го решим, като просто разсъждаваме. Ако х = 0, то х^2 = х. Значи тук на графиката х е равно на 0. 1 на квадрат също е равно на 1. 1 е равно на корен квадратен от 1. Може да пробваш и други начини. Може да кажеш, че х^2 е равно на 0. Изнасяш х пред скоби. Получава се х(х – 1) = 0. Значи един от двата множителя трябва да е 0, така че или х = 0, или (х – 1) = 0. И получаваме х = 0 или х = 1. Което ни дава границите за интегриране. Това е в интервала от х = 0 до х = 1. Сега можем да намерим обема на външното тяло. Но не сме готови. Трябва да намерим и обема на вътрешното тяло, което ще извадим. Ще извадим това тяло. Ще извадим този обем. Стойностите на х отново са между 0 и 1. Да помислим за тези дискове. Например, да направим диск, който е вътрешен, например тук. Ще направя един вътрешен диск. Сега издълбаваме сърцевината. Каква е площта на повърхността на тези дискове? Тя ще бъде π по квадрата на радиуса. В този случай радиусът е равен на стойността на вътрешната функция, която е просто х. Това е равно просто на х. После го умножаваме по дебелината, по дебелината на всеки от тези дискове. Всеки диск ще има дебелина dх. Представи си монета, която е безкрайно тънка, ето тук. Това ще е dх. Значи обемът на нашия трюфел с издълбан конус вътре ще бъде равен на този интеграл минус този интеграл ето тук. Можем да го сметнем по следния начин. Можем даже да кажем, че можем да изнесем отпред пи и от двата интеграла. Всъщност има много начини да запишем това. Но нека да го сметнем така, а после ще обобщим в следващото видео. Значи това ще е равно на определен интеграл от 0 до 1. Изнасяме пи отпред. Квадратен корен от х квадрат е просто х, dх, минус интеграл, отново изнасяме пи отпред, от 0 до 1 от х^2, dх. И можем да кажем, че това е равно на пи по примитивната функция на х, което е просто х^2 върху 2, изчислено в интервала от 0 до 1, минус пи по примитивната функция на х^2, която е х^3 върху 3, изчислена от 0 до 1. Този израз е равен на... ще сменя произволно цвета, защото това зелено става много еднообразно – пи по (1^2)/2 минус (0^2)/2. Това е на квадрат. (1^2)/2 минус (0^2)/2, минус пи по (1^3)/3 минус (0^3)/3. И така получаваме, това е равно на... ще използвам същия син цвят – това е това, опростено. Това тук е просто нула. Това е 1 на квадрат върху 2, което е просто 1/2. Значи това е π/2 минус... това е нула, това е 1/3, минус π/3. За да опростим това, трябва просто да извадим дробите. Да намерим общ знаменател. Общият знаменател е 6. Това е 3π/6. 3π/6 минус 2π/6. π/3 е 2π/6, π/2 е равно на 3π/6. Накрая получаваме 3 по нещо минус 2 по нещо, което е 1 от това нещо. Получаваме 1π/6. И сме готови. Намерихме обема на това странно тяло, което прилича на издълбан трюфел.