Използване на метода на пръстените при въртене на графиката на функцията около вертикална права, различна от оста у, част 2

Като използваме метода на пръстена, ако наречем това пръстен, можем да съставим определен интеграл за обема на ротационното тяло, получено при въртене ето тук. Това е равно на този обем. В това видео ние ще решим този интеграл. Най-напред ще изнесем пред скоби това π. Това е равно на π по определения интеграл от 0 до 1. Да повдигнем на квадрат израза, който тук е в зелено. 2 на квадрат е 4. После имаме 2 по произведението на тези два члена. Значи 2 по –у^2 по 2 е равно на –4у^2. После –у^2 на квадрат е +у^4. Сега от тук ще извадим квадрата на този израз. Ще извадим квадрата на този израз, който ще стане 4 – 4 по квадратен корен от у, плюс... квадратен корен от у на втора е равен на у. Цялото по dу. Ще използвам същия цвят. Това ще бъде равно на π по определения интеграл от 0 до 1. Да видим как можем да опростим това. Тук имаме +4, но като умножим по този знак минус, ще получим –4, значи тези се унищожават. Да видим. Членът от най-висока степен ще бъде у на четвърта степен. Значи имаме у^4. Ще го запиша в същия цвят. Следващият член по реда на степенния показател е –4у^2. После имаме минус... пак ще използвам същия цвят. Значи имаме –4у^2. Това е ето това тук. После идва този у. Но да не забравяме знака минус отпред. Значи минус у. Това тук е минус у. После имаме минус по минус, което дава + 4 по квадратен корен от у. Става положителен корен квадратен от у. И само да поясня, когато намираме примитивната функция, ще го запиша като 4у^(1/2). И всичко това е умножено по dу. Сега сме готови да намерим примитивната функция. Това ще е равно на пи по на примитивната функция на у^4, която е у^5/5. Примитивната функция е –4у^2 е –4/3(у^3). Примитивната функция на –у е –у^2/2. И примитивната функция на 4у^(1/2) – да видим. Ще увеличим степенния показател, така че ще стане у^(3/2) по 2/3. Получаваме 8/3 по… плюс (8/3)у^(3/2). Да проверим. Да. Всичко е вярно. Ще изчислим това за 1 и за 0. За наш късмет, когато смятаме за нула, целият израз е равен на нула. Всичко това е равно на пи по това, което изчислим за 1. Значи получаваме 1/5 минус 4/3... ще използвам зелено – минус 4/3 минус 1/2. Когато го изчисляваме за 1, това става равно на +8/3. Да видим кое е най-малкото общо кратно? Да видим, 5, 3 и 2. Изглежда, че знаменателят ще стане 30. Значи преписваме, това е равно на π и тук привеждаме всички членове към общ знаменател 30. 1/5 е 6/30. 4/3 е 40/30, значи минус 40. Това зелено е различно. Но всъщност ще използвам различно зелено. Значи минус 40/30. Минус 1/2, това е –15/30. Накрая 8/3 е равно на 80/30, значи плюс 80. Това се опростява до... Имаме 86 минус 50, всъщност, само да проверя, че съм го сметнал вярно. 80 минус 40 е 40, плюс 6 е 46, минус 15 става 31. Значи това е равно на 31π/30. Имах подозрение, че може да съм сбъркал някъде в тази последната част тук. Значи това ще бъде, да видим, –36, –51, плюс 80. Изглежда правилно. Ще го направя още веднъж. Да видим. 80 минус 40 е 40, после 46, 46 минус 10 е 36, минус 5 е 31. Значи е вярно, 31π/30 е търсеният обем.