If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Интегрално смятане > Раздел 3

Урок 12: Обем: Метод на пръстените (ротация на графиката на функцията около други оси)

Използване на метода на пръстените при въртене на графиката на функцията около вертикална права, различна от оста у, част 2

Изчисляване на интеграла, съставен в последното видео, с помощта на метода на пръстените. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Като използваме метода на пръстена, ако наречем това пръстен, можем да съставим определен интеграл за обема на ротационното тяло, получено при въртене ето тук. Това е равно на този обем. В това видео ние ще решим този интеграл. Най-напред ще изнесем пред скоби това π. Това е равно на π по определения интеграл от 0 до 1. Да повдигнем на квадрат израза, който тук е в зелено. 2 на квадрат е 4. После имаме 2 по произведението на тези два члена. Значи 2 по –у^2 по 2 е равно на –4у^2. После –у^2 на квадрат е +у^4. Сега от тук ще извадим квадрата на този израз. Ще извадим квадрата на този израз, който ще стане 4 – 4 по квадратен корен от у, плюс... квадратен корен от у на втора е равен на у. Цялото по dу. Ще използвам същия цвят. Това ще бъде равно на π по определения интеграл от 0 до 1. Да видим как можем да опростим това. Тук имаме +4, но като умножим по този знак минус, ще получим –4, значи тези се унищожават. Да видим. Членът от най-висока степен ще бъде у на четвърта степен. Значи имаме у^4. Ще го запиша в същия цвят. Следващият член по реда на степенния показател е –4у^2. После имаме минус... пак ще използвам същия цвят. Значи имаме –4у^2. Това е ето това тук. После идва този у. Но да не забравяме знака минус отпред. Значи минус у. Това тук е минус у. После имаме минус по минус, което дава + 4 по квадратен корен от у. Става положителен корен квадратен от у. И само да поясня, когато намираме примитивната функция, ще го запиша като 4у^(1/2). И всичко това е умножено по dу. Сега сме готови да намерим примитивната функция. Това ще е равно на пи по на примитивната функция на у^4, която е у^5/5. Примитивната функция е –4у^2 е –4/3(у^3). Примитивната функция на –у е –у^2/2. И примитивната функция на 4у^(1/2) – да видим. Ще увеличим степенния показател, така че ще стане у^(3/2) по 2/3. Получаваме 8/3 по… плюс (8/3)у^(3/2). Да проверим. Да. Всичко е вярно. Ще изчислим това за 1 и за 0. За наш късмет, когато смятаме за нула, целият израз е равен на нула. Всичко това е равно на пи по това, което изчислим за 1. Значи получаваме 1/5 минус 4/3... ще използвам зелено – минус 4/3 минус 1/2. Когато го изчисляваме за 1, това става равно на +8/3. Да видим кое е най-малкото общо кратно? Да видим, 5, 3 и 2. Изглежда, че знаменателят ще стане 30. Значи преписваме, това е равно на π и тук привеждаме всички членове към общ знаменател 30. 1/5 е 6/30. 4/3 е 40/30, значи минус 40. Това зелено е различно. Но всъщност ще използвам различно зелено. Значи минус 40/30. Минус 1/2, това е –15/30. Накрая 8/3 е равно на 80/30, значи плюс 80. Това се опростява до... Имаме 86 минус 50, всъщност, само да проверя, че съм го сметнал вярно. 80 минус 40 е 40, плюс 6 е 46, минус 15 става 31. Значи това е равно на 31π/30. Имах подозрение, че може да съм сбъркал някъде в тази последната част тук. Значи това ще бъде, да видим, –36, –51, плюс 80. Изглежда правилно. Ще го направя още веднъж. Да видим. 80 минус 40 е 40, после 46, 46 минус 10 е 36, минус 5 е 31. Значи е вярно, 31π/30 е търсеният обем.