Използване на метода на пръстените при въртене на графиката на функцията около хоризонтална права, различна от оста х, част 2

Приключихме предходното видео със съставянето на определен интеграл за намиране на обема на това тяло. Сега просто ще го изчислим. Практически най-трудната част ще бъде опростяването на това тук. Затова да се захващаме на работа. Колко е това на квадрат? Изглежда, че ще трябва да извършим малко умножение на многочлени. Ще използвам отново същия цвят. Имаме 4 – х^2 + 2х по 4 минус... Всъщност ще подредя членовете спрямо техните степени. Става –х^2 + 2х + 4. Размених им местата просто. По –х^2 + 2х + 4. Сега просто ще умножим тези два израза. Даже няма да пиша символ за умножение, защото прилича на х. 4 по 4 е 16. 4 по 2х е 8х. 4 по –х^2 е –4х^2. 2х по 4 е 8х. 2х по 2х е 4х^2. и накрая 2х по –х^2 е равно на –2х^3. И сега трябва да умножим –х по всичко това. Значи... или –х^2. –х^2 по 4 е равно на –4х^2. –х^2 по 2х е –х^3. После –х^2 по –х^2 е равно на +х^4. Значи тук имаме плюс х на четвърта степен. И сега просто трябва да съберем тези членове. Получаваме х^4, събираме тези две... минус 4х^3. После тези се унищожават, но все още имаме това, така че става –4х^2. Събираме тези два члена и получаваме +16х. После имаме + 16. Това е този израз, след като сме го разложили. И сега, ако искаме... (4 – х) по (4 – х). Ако искаме да умножим (4 – х) по (4 – х), можем да го направим по същия начин. Тук ще имаме 4 по 4, което е равно на 16, плюс 4 по –х, което е –4х, –х по 4 е още веднъж –4х, после –х по –х е равно на +х^2. Ако ги подредим, получаваме х^2 – 8х + 16. Но този израз трябва да го извадим. Ако поставим отрицателен знак тук, ще извадим целия този израз. Да го направим точно тук, тъй като вече сме ги подредили. Значи вадим от това това. Изваждаме този израз или го прибавяме със знак минус Поставяме –х^2 + 8х – 16. Просто ще добавя тези с отрицателни знаци. Получаваме... ще използвам нов цвят – да видим, получаваме х^4 – 4х^3 – 5х^2 + 24х и тези се унищожават. Получаваме това. Това е изразът под интеграла. Ще намерим интеграл от този израз, само за да не преписваме целия този израз, от 0 до, ако си спомням правилно, до 3. Точно така, от 0 до 3, от това, dх. И тук отпред имаме пи. Просто го изнасям пред интеграла. Значи по пи. Сега ще намеря примитивната функция. Това ще бъде равно на пи по примитивната функция от х^4, което е х^5/5. Примитивната функция на 4х^3 всъщност е х^4. Това ще бъде –х^4, можеш да направиш проверка. Производната на 4х, като намалиш степенния показател, става 4х^3. Това е вярно. После примитивната функция на това е –5/3х^3. Просто увеличеният степенен показател, делен на това. После имаме –24х^2 върху 2, което е 12х^2. И сега ще изчислим този израз. Искам да спазвам цветовете за отваряне и затваряне на скобите. Ще сметнем това, всъщност ще използвам квадратни скоби. Ще го изчислим в интервала от 0 до 3. Това е равно на пи по... Да сметнем израза за 3. Получаваме 3 на пета степен. Да видим, 3 на трета е равно на 27. 3 на четвърта степен е 81. 3 на пета степен е равно на... 81 по 3 става 243. Значи получаваме 243. Тук ще има дълги сметки – 243/5 минус 3 на четвърта е 81. Минус 81. Минус, да видим, имаме 3 на трета степен, по... да видим, ще стане –5/3 по 3 на трета степен. Значи по 27. 27 делено на 3 е 9. 9 по 5 е 45. Сега да опростим това. Това е равно на 45. Вярно ли е? Да. Това на практика е 3 на квадрат по 5, защото тук делим на 3. Получава се 45. И накрая 3 на квадрат е 9. 9 по 12 е 108. Значи плюс 108. Тези задачи имат дълги сметки, което е най-стресиращо за мен, но ще гледам да не се стресирам прекалено. После ще извадим целия този израз, изчислен за 0, което, за наше щастие е много лесно. Тези изчислени са 0, 0, 0, 0, 0. От тук ще извадим 0, което малко опростява нещата. Сега трябва да съберем дробите. Да действаме. Първо ще опростя тази част. После ще ги приведем към общ знаменател 5. Да видим какво имаме тук. Имаме –81 минус 45. Тези два члена стават –126. После –126 плюс 108. Това е равно на –26 плюс 8, което е равно на –18. Цялото нещо се опростява до –18. Вярно ли го сметнах? Това е –126. После –126. Да, това става –18. Сега просто представяме минус 18 като дроб със знаменател 5. минус 18 като дроб със знаменател 5 е равно на... да видим... 5 по 10 е 50, плюс 40. Това е –90/5. Целият израз се опрости до... е равен на пи по 243/5 минус 90/5, което е равно на пи... тук заслужавам аплодисменти. Това бяха доста сложни сметки. Значи 243 – 90 е равно на 153/5. Можем да запишем 153π/5. И след всички тези сметки, понякога забравяме какво правим. Търсехме обема на това тяло, което има издълбана сърцевина.