If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 3

Урок 12: Обем: Метод на пръстените (ротация на графиката на функцията около други оси)

Използване на метода на пръстените при въртене на графиката на функцията около вертикална права, различна от оста у, част 1

Изразяване чрез определен интеграл на обема на тяло, получено при въртене на графиката на функцията около вертикална права, с помощта на "метода на шайбите" или "метода на пръстените". Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В това видео ще разгледаме областта между пресичащите се графики на две функции, у е равно на квадратен корен от х е горната графика, а у = х^2 е долната графика. Ще завъртим тези графики около вертикална права, различна от оста у. Значи ги завъртаме около вертикалната права х = 2. Завъртаме ги ето така. И ако ги завъртим така, ще получим това странно на вид тяло. То е кухо в средата. Графиката на у = х^2 е един вид издълбана в средата. Тялото е пространството между стената и това пространство вътре. Да видим как можем да намерим този обем. Ще го направим, като използваме метода на дисковете, понякога наричан метод на пръстена, всъщност по-скоро ще използваме метода на пръстена, за да пресметнем този обем. Значи завъртаме около вертикална права. Искаме да използваме метода на пръстена. Ще бъде много полезно да си представим пръстени, които са натрупани по посока у. Затова ще интегрираме спрямо у. Искам да поясня какво имам предвид. Всеки от тези пръстени ще изглежда ето така. Ще се постарая да го начертая добре. Това е вътрешният радиус на пръстена, определен от у = х^2. После външният радиус на пръстена изглежда ето така. Опитвам се да го начертая правилно. Външният радиус на пръстена ще изглежда ето така. Дебелината на пръстена ще бъде dу, ето така. Ще нарисувам и дебелината. Да видим, ето тук. Това е поглед отгоре към пръстена, защото го правим спрямо вертикалната посока. Това е пръстен за дадено у, да кажем за това у ето тук. Това е пръстенът, който ще се получи, ако вземем този правоъгълник с височина dу, и го завъртим около правата х = 2. Така ще получим пръстен като този за всяка стойност на у в нашия интервал. Представи си натрупани пръстени един над друг и след това ще съберем обемите на всички тези пръстени, като границата ето тук имаме безкрайно много пръстени, или почти безкраен брой пръстени с безкрайно малка височина или дебелина, или dу. Да видим как ще направим това. Знаем, че трябва да определим колко е обемът на един от тези пръстени за дадено у като функция от х, а после да интегрираме, да съберем тези обеми. Да определим обема на един от тези пръстени. За да го направим, трябва да изразим тези функции като функции от у. Тази цикламена крива, у е равно на квадратен корен от х, ако повдигнем на квадрат двете страни, ще получим у^2 = х. Сега ще разменя страните, за да е по-ясно, че имаме сега имаме х като функция от у. х = у^2. Това е горната графика, която съм начертал един вид като черупка на тялото. После имаме у = х^2. Ако коренуваме двете страни на уравнението, това е възможно, защото се намираме в първи квадрант. Това е частта, която ни интересува. Получаваме х е равно на корен квадратен от у. Графиката е жълтата крива ето тук. Как да намерим площта на основата на един от тези пръстени? Площта... ще използвам оранжев цвят, защото нарисувах пръстена в оранжево. Значи площта на основата ето тук в оранжево е функция от у и е равна на площта на кръга, ако взема този външен радиус, а после извадя тази площ на кръга, получен от вътрешния радиус, просто я изваждаме. Значи това е външният радиус, получаваме π по външния радиус на квадрат минус... ще го напиша ето така – външният радиус, това е функция от у, квадрата на външния радиус минус π по квадрата на вътрешния радиус. И всичко това е функция от у. Външният радиус като функция от у, колко ще бъде това? Това е по-лесно за визуализация – ще опитам на две места: Това е цялото това разстояние ето тук, разстоянието между вертикалната права, хоризонталното разстояние между вертикалната права, и външната функция. Ако го разгледаш спрямо х, това е 2 минус стойността на х, която е тук. Значи стойността на х ето тук е у^2. Спомни си, че искаме това да е функция от у. Значи външният радиус, цялото това разстояние, е равно на 2 минус стойността на х като функция от у. Тази стойност на х е равна на у^2. Външният радиус е 2 – х, извинявам се. 2 – у^2. Искаме го като функция от у. На какво ще е равен вътрешният радиус? Той е равен на разликата, хоризонталното разстояние между вертикалната права и вътрешната функция, или вътрешната граница. Това е хоризонталното разстояние между 2 и стойността на х тук. Но стойността на х е функция от у, тя е равна на квадратен корен от у. Значи става 2 минус квадратен корен от у. Сега можем да съставим израз за лицето. То ще бъде... само ще изнеса пред скоби... не, ще оставя π тук. Това е равно на π... ето тук... това е равно на π по квадрата на радиуса. Външният радиус е 2 – у^2, и искам да кажа, всъщност ще го напиша. 2 – y^2 минус π по квадрата на вътрешния радиус. Вече разбрахме това. Вътрешният радиус е 2 минус квадратен корен от у. Това също ще го повдигнем на квадрат. Това ни дава площта на основата на един от тези пръстени като функция от у, горният пръстен, който оцветих в оранжево. И сега, за да сметнем обема на един от тези пръстени, трябва да умножим това по дебелината или по височината, както съм го нарисувал тук. И тази височина – вече сме го правили много пъти, това е безкрайно малка промяна на у. Значи ще умножим всичко това по dу. Това е обемът на един от тези пръстени. После ще сумираме обемите на всички пръстени в нашия интервал. Значи сумираме обемите на всички пръстени в интервала. Когато поставим знак за интеграл, това означава сума в границите, в които имаме безкрайно голям брой пръстени, които имат безкрайно малка дебелина, зависи как го разглеждаме. А какъв е интервалът? И това сме правили много пъти. Тези две графики – ще направим проверка. Можеш да го решиш, но тук е много очевидно, че те се пресичат при... спомни си, че търсим интервала. Пресичат се при у = 0 и при у = 1. Получихме го. Съставихме интеграл за обема на това тяло тук. Сега ще спра дотук, а в следващото видео ще решим този интеграл.