If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Раздел: Интеграли

0

Възможни точки за майсторство

Въведение в натрупването на изменения

Учи
Въведение в интегралното смятане
(Отваря се модален прозорец)
Въведение в определените интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Разглеждане на натрупването на изменения
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: натрупване на изменение
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Натрупване на изменениеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Приблизително решение със суми на Риман

Учи
Въведение в Римановите апроксимации
(Отваря се модален прозорец)
Риманови суми с излишък и недостиг
(Отваря се модален прозорец)
Леви и десни Риманови суми
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: намиране на Риманови суми чрез таблица
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Риманови суми с излишък и недостиг
(Отваря се модален прозорец)
Средни суми на Риман
(Отваря се модален прозорец)
Правило на трапеца
(Отваря се модален прозорец)
Обяснение на правилото на трапеца
(Отваря се модален прозорец)
Обобщение върху сумите на Риман
(Отваря се модален прозорец)
Решаване на задача за движение със сума на Риман
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Леви и десни Риманови сумиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Риманови суми с излишък и недостигОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Средна сума на Риман и правило на трапецаОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Преглед на означението за сума

Учи
Означение за сума
(Отваря се модален прозорец)
Означение за сума
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Означения за сума
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Означение за сумаОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Риманови суми с означение за сума

Учи
Риманови суми с означение за сума
(Отваря се модален прозорец)
Риманови суми с означение за сума
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Риманови суми с означение за сума
(Отваря се модален прозорец)
Средна сума на Риман и правило на трапеца със знак за сума
(Отваря се модален прозорец)
Суми на Риман със знак сигма: задача с повишена трудност
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Риманови суми с означение за сумаОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Дефиниране на интеграли със суми на Риман

Учи
Определеният интеграл като граница на Риманова сума
(Отваря се модален прозорец)
Определеният интеграл като граница на Риманова сума
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Преобразуване на определен интеграл като граница на Риманова сума
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Представяне на граница на Риманова сума като определен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Определеният интеграл като граница на Риманова сумаОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 1

Повиши нивото си за тези умения и събери до 700 точки за майсторство

Фундаментална теорема на анализа и функции на натрупването

Учи
Фундаменталната теорема на анализа и функциите на натрупването
(Отваря се модален прозорец)
Функции, дефинирани като определени интеграли (функции на натрупване)
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа: верижно правило (за диференциране на сложна функция)
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Функции, дефинирани като определени интеграли (функции на натрупване)Отговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализаОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа: верижно правило (за диференциране на сложна функция)Отговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тълкуване на поведението на функции на натрупването

Учи
Тълкуване на поведението на функции на натрупването
(Отваря се модален прозорец)
Тълкуване на поведението на функции на натрупването
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Тълкуване на поведението на функции на натрупванетоОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Свойства на определените интеграли

Учи
Отрицателни определени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на определени интеграли като се използват формули за площ
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл в една единствена точка
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране на мащабиран вариант на функция
(Отваря се модален прозорец)
Размяна на границите за определен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране на суми от функции
(Отваря се модален прозорец)
Решени примери: Намиране на определени интеграли с помощта на алгебрични свойства
(Отваря се модален прозорец)
Определени интеграли на съседни интервали
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: Разделяне на интервала за даден интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: Сливане на определени интеграли на съседни интервали
(Отваря се модален прозорец)
Функции, дефинирани чрез интеграли: разменен интервал
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в долната граница
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в двете граници
(Отваря се модален прозорец)
Функции, дефинирани с интеграли: задача предизвикателство
(Отваря се модален прозорец)
Преговор на свойствата на определените интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Намиране на определени интеграли като се използват формули за площОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Намиране на определени интеграли с използване на алгебрични свойстваОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Определени интеграли на съседни интервалиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 2

Повиши нивото си за тези умения и събери до 700 точки за майсторство

Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли

Учи
Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Примитивни функции и неопределени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Доказателство на фундаменталната теорема на математическия анализ
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Примитивни функции и неопределени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Правило за интегриране на степенна функция

Учи
Правило за интегриране на степенна функция
(Отваря се модален прозорец)
Неопределени интеграли: сборове и произведения
(Отваря се модален прозорец)
Преобразуване преди интегриране
(Отваря се модален прозорец)
Преобразуване преди интегриране: задача с повишена трудност
(Отваря се модален прозорец)
Преговор на правилото за интегриране на степенна функция
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Правило за интегриране на степенна функцияОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Правило за интегриране на степенна функция: отрицателни и дробни степениОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Правило за интегриране на степенна функция: сборове и произведенияОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Правило за интегриране на степенна функция: преобразуване преди интегриранеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 3

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Неопределени интеграли на често срещани функции

Учи
Неопределен интеграл на 1/x
(Отваря се модален прозорец)
Неопределени интеграли от sin(x), cos(x) и eˣ
(Отваря се модален прозорец)
Преговор на често срещани интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Неопределени интеграли: eˣ и 1/xОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Неопределени интеграли: sin & cosОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране на тригонометрични функцииОтговори вярно на 5 от 7 въпроса, за да повишиш умението си!

Определени интеграли на често срещани функции

Учи
Определени интеграли: правило за интегриране на степенна функция
(Отваря се модален прозорец)
Определени интеграли на рационални функции
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл на ирационална функция
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл на тригонометрична функция
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл, който съдържа естествен логаритъм
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл от частично определена функция
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл от функция с абсолютна стойност
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Определени интеграли: правило за интегриране на степенна функцияОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Определени интеграли: често срещани функцииОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Определени интеграли от частично определени функцииОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 4

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Интегриране чрез заместване

Учи
Интегриране чрез заместване: въведение
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: умножение с константа
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: рационална функция
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: логаритмична функция
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: упражнения за затвърдяване
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: определен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване на определени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: определен интеграл от показателна функция
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: специално приложение
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: двойно заместване
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: по-сложно приложение
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶Отговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране чрез заместване: неопределен интегралОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране чрез заместване: определен интегралОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране на функции чрез използване на дълго деление и допълване до точен квадрат

Учи
Интегриране с използване на дълго деление
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране с използване на допълване до точен квадрат и производната на аркустангенс(х)
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране с използване на дълго делениеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране с използване на допълване до точен квадратОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране с използване тригонометрични тъждества

Учи
Интеграл от cos^3(x)
(Отваря се модален прозорец)
Интеграл от sin^2(x) cos^3(x)
(Отваря се модален прозорец)
Интеграл от sin^4(x)
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране с използване на тригонометрични тъждестваОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 5

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Тригонометрично заместване

Учи
Въведение в интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
(Отваря се модален прозорец)
Заместване с x=sin(тита)
(Отваря се модален прозорец)
Още задачи с интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 1)
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 2)
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества и допирателна
(Отваря се модален прозорец)
Още примери за интегриране чрез заместване и използване на функцията тангенс
(Отваря се модален прозорец)
Дълга задача с интегриране чрез заместване и тригонометрични тъждества
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Тригонометрично заместванеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране по части

Учи
Въведение в интегрирането по части
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫x⋅cos(x)dx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫ln(x)dx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫x²⋅𝑒ˣdx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: определени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Предизвикателство върху интегриране по части
(Отваря се модален прозорец)
Обобщение върху интегриране по части
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране по частиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране по части: определени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране чрез използване на линейни елементарни дроби

Учи
Интегриране с елементарни дроби
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране с елементарни дробиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Несобствени интеграли

Учи
Въведение в несобствените интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Разходящ несобствен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Обобщение върху несобствени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Несобствен интеграл с две безкрайни граници
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Несобствени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 6

Повиши нивото си за тези умения и събери до 500 точки за майсторство

Видеа с доказателства

Учи
Доказателство на фундаменталната теорема на математическия анализ
(Отваря се модален прозорец)
Логическо разбиране на втората част от фундаменталната теорема на анализа
(Отваря се модален прозорец)
Какво те очаква:

Тест за раздела

Повиши нивото си за всички умения в раздела и събери до 3700 точки за майсторство!

За този урок

Определеният интеграл е функция, която ни дава площта под кривата на тази функция. Друго често срещано тълкуване е, че интегралът от скоростта на изменение на една функция описва натрупването на величината, чиято скорост на изменение е дадена. Можем да сметнем с приближение интегралите, като използваме суми на Риман, и да дефинираме определените интеграли, като използваме границите на сумите на Риман. Фундаменталната теорема на математическия анализ дава връзката между интегралите и производните и може да се използва, за да се изчисляват различни определени интеграли.