Основно съдържание

Раздел: Интеграли

0

Възможни точки за майсторство

Въведение в натрупването на изменения

Учи
Въведение в интегралното смятане
(Отваря се модален прозорец)
Въведение в определените интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Разучаване на натрупването на изменение
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: натрупване на изменение
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Натрупване на изменениеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Приблизително решение със Суми на Риман

Учи
Въведение в Римановите апроксимации
(Отваря се модален прозорец)
Оценки отгоре и оценки отдолу на Риманови суми
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: намиране на Риманови суми чрез таблица
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: оценяване отгоре и отдолу на Риманови суми
(Отваря се модален прозорец)
Средни суми на Риман
(Отваря се модален прозорец)
Правило на трапеца
(Отваря се модален прозорец)
Обяснение на правилото на трапеца
(Отваря се модален прозорец)
Обобщение върху сумите на Риман
(Отваря се модален прозорец)
Решаване на задача от движение със сума на Риман
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Леви и десни Риманови сумиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Оценки отгоре и оценки отдолу на Риманови сумиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Средна сума на Риман и правило на трапецаОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Преговор на означението за сума

Учи
Обозначение за сума
(Отваря се модален прозорец)
Обозначение за сума
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Означения за сумиране
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Обозначение за сумаОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Риманови суми в означения за сумиране

Учи
Риманови суми в означения за сумиране
(Отваря се модален прозорец)
Риманови суми в означения за сумиране
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Риманови суми в означения за сумиране
(Отваря се модален прозорец)
Средна сума на Риман и правило на трапеца със знак за сбор
(Отваря се модален прозорец)
Суми на Риман със знак за сбор: задача с повишена трудност
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Риманови суми в означения за сумиранеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Дефиниране на интеграли със Суми на Риман

Учи
Определеният интеграл като граница на Риманови суми
(Отваря се модален прозорец)
Определеният интеграл като граница на Риманови суми
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Пренаписване на определен интеграл като граница на Риманова сума
(Отваря се модален прозорец)
Разработен пример: Пренаписване на граница на Риманова сума като определен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Определеният интеграл като граница на Риманови сумиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 1

Повиши нивото си за тези умения и събери до 700 точки за майсторство

Фундаментална теорема на анализа и функции на натрупването

Учи
Фундаменталната теорема на анализа и функциите на натрупването
(Отваря се модален прозорец)
Функции, дефинирани като определени интеграли (функции на натрупване)
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Функции, дефинирани като определени интеграли (функции на натрупване)Отговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа: верижно правилоОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тълкуване на поведението на функции на натрупването

Учи
Тълкуване на поведението на функции на натрупването
(Отваря се модален прозорец)
Тълкуване на поведението на функции на натрупването
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Тълкуване на поведението на функции на натрупванетоОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Свойства на определените интеграли

Учи
Отрицателни определени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на определени интеграли като се използват формули за площ
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл в една единствена точка
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране на мащабиран вариант на функция
(Отваря се модален прозорец)
Завъртане на граници на определен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране на суми от функции
(Отваря се модален прозорец)
Работни примери: Намиране на определени интеграли като се използват алгебрични свойства
(Отваря се модален прозорец)
Определени интеграли на съседни интервали
(Отваря се модален прозорец)
Работен пример: Разделяне на интервала за даден интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Решен пример: Сливане на определени интеграли на съседни интервали
(Отваря се модален прозорец)
Функции, дефинирани чрез интеграли: разменен интервал
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в долната граница
(Отваря се модален прозорец)
Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в двете граници
(Отваря се модален прозорец)
Функции, дефинирани с интеграли: задача предизвикателство
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Намиране на определени интеграли като се използват формули за площОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Намиране на определени интеграли като се използват алгебрични свойстваОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Определени интеграли на съседни интервалиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 2

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли

Учи
Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Примитивни и неопределени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Доказателство за фундаменталната теорема на математическия анализ
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Примитивни и неопределени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Обратно правило за степенуване

Учи
Обратно правило за степенуване
(Отваря се модален прозорец)
Неопределени интеграли: сборове и множители
(Отваря се модален прозорец)
Преобразуване преди интегриране
(Отваря се модален прозорец)
Преобразуване преди интегриране: задача с повишена трудност
(Отваря се модален прозорец)
Обобщение върху обратното правило за степенуване
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Обратно правило за степенуванеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Обратно правило за степенува: отрицателни и дробни степениОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Обратно правило за степенуване: сборове и множителиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Обратно правило за степенуване: преобразуване преди интегриранеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 3

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Неопределени интеграли на често срещани функции

Учи
Неопределен интеграл на 1/x
(Отваря се модален прозорец)
Неопределени интеграли на sin(x), cos(x), и eˣ
(Отваря се модален прозорец)
Преговор на често срещани интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Неопределени интеграли: eˣ и 1/xОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Неопределени интеграли: sin & cosОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране на тригонометрични функцииОтговори вярно на 5 от 7 въпроса, за да повишиш умението си!

Определени интеграли на често срещани функции

Учи
Определени интеграли: обратно правило за степенуване
(Отваря се модален прозорец)
Определени интеграли на рационални функции
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл на ирационална функция
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл на тригонометрична функция
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл, който съдържа естествен логаритъм
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл на частично определена функция
(Отваря се модален прозорец)
Определен интеграл на функция с абсолютна стойност
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Определени интеграли: обратно правило за степенуванеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Определени интеграли: често срещани функцииОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Определени интеграли на частично определени функцииОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 4

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Интегриране със заместване

Учи
Интегриране със заместване: въведение
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране със заместване: умножение с константа
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране със заместване: дефиниране на 𝘶
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)
(Отваря се модален прозорец)
𝘶-субституция
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране със заместване: рационална функция
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране със заместване: логаритмична функция
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране със заместване: упражнения за затвърдяване
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране със заместване: определен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране със заместване: определен интеграл от показателна функция
(Отваря се модален прозорец)
Заместване: специално приложение
(Отваря се модален прозорец)
Заместване: двойно заместване
(Отваря се модален прозорец)
Заместване: по-сложно приложение
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране със заместване: дефиниране на 𝘶Отговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране със заместване: неопределен интегралОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране със заместване: определен интегралОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране, чрез използване на дълго деление и допълване до точен квадрат

Учи
Интегриране, използвайки алгоритъм за деление
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране, използвайки допълване до точен квадрат и производната на аркустангенс(х)
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране, използвайки алгоритъм за делениеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране, използвайки допълване до точен квадратОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране чрез тригонометрични тъждества

Учи
Интеграл от cos^3(x)
(Отваря се модален прозорец)
Интеграл от sin^2(x) cos^3(x)
(Отваря се модален прозорец)
Интеграл от sin^4(x)
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране чрез тригонометрични тъждестваОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 5

Повиши нивото си за тези умения и събери до 600 точки за майсторство

Тригонометрично заместване

Учи
Въведение в тригонометрично заместване
(Отваря се модален прозорец)
Заместавне с x=sin(тита)
(Отваря се модален прозорец)
Още задачи със заместване на тригонометрични тъжества
(Отваря се модален прозорец)
Тригонометрично заместване и интегриране чрез заместване в комбинация (част 1)
(Отваря се модален прозорец)
Тригонометрично заместване и интегриране чрез заместване в комбинация (част 2)
(Отваря се модален прозорец)
Тригонометрично заместване с допирателна
(Отваря се модален прозорец)
Още тригонометрични замествания с тангенс
(Отваря се модален прозорец)
Дълга задача с тригонометрични замествания
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Тригонометрично заместванеОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране на части

Учи
Въведение в интегрирането по части
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫x⋅cos(x)dx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫ln(x)dx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫x²⋅𝑒ˣdx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
(Отваря се модален прозорец)
Интегриране по части: определени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Предизвикателство върху интегриране по части
(Отваря се модален прозорец)
Обобщение върху интегриране по части
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране на частиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!
Интегриране по части: определени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Интегриране, чрез използване на линейни елементарни дроби

Учи
Интегриране с елементарни дроби
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Интегриране с елементарни дробиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Несобствени интеграли

Учи
Въведение в неправилните интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Разнообразен неправилен интеграл
(Отваря се модален прозорец)
Обобщение върху несобствени интеграли
(Отваря се модален прозорец)
Неправилен интеграл с две безкрайни граници
(Отваря се модален прозорец)
Упражнения
Несобствени интегралиОтговори вярно на 3 от 4 въпроса, за да повишиш умението си!

Тест 6

Повиши нивото си за тези умения и събери до 500 точки за майсторство

Видеа с доказателства

Учи
Доказателство за фундаменталната теорема на математическия анализ
(Отваря се модален прозорец)
Интуитивно значение на втората част от фундаменталната теорема на анализа
(Отваря се модален прозорец)
Какво те очаква:

Тест за раздела

Повиши нивото си за всички умения в раздела и събери до 3600 точки за майсторство!

За този урок

Определеният интеграл е функция, която ни дава площта под кривата на тази функция. Друго често срещано тълкуване е, че интегралът от скоростта на изменение на една функция описва натрупването на величината, чиято скорост на изменение е дадена. Можем да сметнем с приближение интегралите, като използваме Сума на Риман, и да дефинираме определените интеграли, като използваме границите на Сумите на Риман. Фундаменталната теорема на анализа свързва интегралите и производните заедно и може да се използва, за да се изчисляват различни определени интеграли.