Определен интеграл, който съдържа естествен логаритъм

Нека да изчислим определен интеграл от 2 до 4, от 6 плюс х квадрат, върху х на трета, dx. На пръв поглед може да изглежда доста сложно. Имаме този рационален израз. Може обаче просто го запишем по друг начин. Може би се досещаш как може малко да се опрости. Този израз е равен на интеграл от 2 до 4, от 6 върху х на трета, плюс х квадрат върху х на трета, dx. Просто разделих числителя на събираеми, като разделих всеки от тези членове на х на трета. А това мога да го запиша ето така. Равно е на интеграл от 2 до 4, от 6 по х на минус трета. Това е първият член. А х квадрат, разделено на х на трета, ще бъде равно на 1/х. Следователно имаме плюс 1/х, dx. А сега този израз ще бъде равен на следното. Нека намерим примитивните функции на различните събираеми. След това ще го изчислим за 4 и ще го изчислим за 2. Ще намерим разликата между примитивните функции (антипроизводните) от 4 и от 2. На какво е равна примитивната функция на 6 по х на минус трета? Тук отново можем да използваме правилото за намиране на примитивната функция на производна от степен, за да намерим антипроизводната. Тоест обратното правило на това за намиране производна на степен. Знаем, че ако търсим интеграл от х на n-та степен, dx, то примитивната функция на това ще бъде равна на х на степен n плюс 1 върху n плюс 1. Ако просто търсим примитивна функция на неопределен интеграл, то тогава ще прибавим една константа С. Причината да не прибавяме константа ето тук, е, че когато изчисляваме за границите на интегриране, тогава С ще се унищожи, независимо на какво е равно. Тоест не е важно да мислим толкова за С, когато изчисляваме определени интеграли. Нека приложим правилото към 6 по х на минус трета. Ще се получи следното. Ще имаме х на степен минус 3 плюс 1. Получава се х на минус втора. Тоест ще разделим също на минус 2. И, разбира се, имаме 6 тук от първоначалния израз. Това е примитивната функция на 6 по х на минус трета. А каква е примитивната функция на 1/х? Може би се изкушаваш да използваш същата идея. Може би се изкушаваш да приемеш, че примитивната функция на х на минус първа, което е същото като 1/х, ще бъде равна на х на минус първа плюс 1, върху минус 1 плюс 1. Но на какво е равно минус 1 плюс 1? На нула! Това не отговаря на това свойство ето тук. За щастие обаче, съществува друго свойство. А това с представянето като степен вече сме го правили, когато търсихме производна на функции, съдържащи натурален логаритъм. Примитивната функция на 1/х или х на минус първа понякога ще видиш записана като натурален логаритъм от х плюс С. Понякога предпочитам една друга възможност, защото можеш да я изчислиш за отрицателни стойности, и това е модул (абсолютна стойност), или натурален логаритъм от модул от х. Това е полезно, защото така функцията е дефинирана за отрицателни стойности, а не само за положителни. Натурален логаритъм от х е дефинирана само за положителни стойности на х, когато обаче имаме модул, може да изберем положителни или отрицателни стойности. И това работи. Производната на този израз наистина е 1/х. В настоящия пример не е толкова важно, защото границите на интегриране са положителни. Ако и двете граници на интегриране обаче са отрицателни, отново може да използваме този вид на функцията, и да си припомним, че това е натурален логаритъм от модул от х. Така че може да кажем, че това е натурален логаритъм от модул от х. Не е лош навик да го записваш така, а ако всички стойности в интервала са положителни, то абсолютната стойност от х, е равна на х. На какво ще е равна сега тази функция? Нека да изчислим всичко за числото 4. Но преди да го направим, нека намерим на какво е равно 6, разделено на минус 2? На минус 3. Тогава за 4 ще се получи минус 3 върху 4 на квадрат. 4 на минус втора е равно на 1 върху 4 на квадрат, а след това имаме плюс натурален логаритъм от модул от 4. Модул от 4 обаче е равно просто на 4. Така че тук имаме само натурален логаритъм от 4. След това от тук ще извадим този израз, изчислен за 2. Нека го направим. Изчислено за 2 ще получим минус 3 върху 2 на квадрат. 2 на минус втора е равно на 1 върху 2 на квадрат. Върху 2 на квадрат, плюс натурален логаритъм от модул от плюс 2. Което отново е равно на 2. Тогава какво се получава за тази разлика? Нека се опитаме да го опростим малко. Това е минус 3/16. Ще го запиша със същия цвят. Ще бъде равно на минус... О, извинете! Не е минус 3/16. Трябва да внимавам тук. О, съжалявам! Минус 3/16 е. По някаква причина си мислех за 4 на трета степен. Минус 3/16 плюс натурален логаритъм от 4. Тогава този израз тук е равен на минус 3/4. Ще го запиша със същия цвят. Това ето тук е равно на 3/4. Имаме този знак минус отпред, с който ще трябва да умножим израза. Минус от минус 3/4 е равно на плюс 3/4. А след това трябва да извадим – тъй като умножаваме с отрицателно число – натурален логаритъм от 2. А сега на какво е равен този израз? Това ще бъде равно на следното. Сега ще избера неутрален цвят. Нека съберем тези два члена, които не съдържат логаритъм. Нека да видим дали имаме общ знаменател. 3/4 е същото нещо като да умножим числителя и знаменателя по 4, т.е. това е равно на 12/16. Тогава се получава минус 3/16. Минус 3/16 плюс 12/16 ще ни даде 9/16. След това ще съберем тези, които съдържат натурален логаритъм. Натурален логаритъм от 4 минус натурален логаритъм от 2. Може да запишем това като плюс натурален логаритъм от 4, минус натурален логаритъм от 2. Може би си спомняш от свойствата на логаритъма, че ето това тук е същото нещо като натурален логаритъм от 4 върху 2. Това следва директно от свойствата на логаритъма. Тогава това ще бъде равно на натурален логаритъм от 2. Натурален логаритъм от 2. И тук заслужаваме поздрав. Всичко това ще бъде равно на натурален логаритъм...О, извинявам се! На 9/16 плюс натурален логаритъм от 2. Плюс натурален логаритъм от 2. И сме готови.