Определен интеграл на ирационална функция

Искаме да изчислим определен интеграл от минус 1 до 8 от 12 по корен трети от х, dx. Това ще бъде равно на същото нещо като определен интеграл от минус 1 до 8 от 12, а корен трети е същото като да кажем х на степен 1/3, dx. Сега искаме да изчислим примитивната функция за израза под интеграла. Просто прилагаме правилото за производна на степен, което ни помага при интегралите. Тук прилагаме наобратно правилото за производна на степен, като увеличаваме степента с единица, а след това разделяме на полученото на увеличената степен. Следователно ще се получи 12, умножено по х на степен 1/3 плюс 1. Нека го запиша с друг цвят, за да може да го проследим. х на степен 1/3 плюс 1 и след това разделяме на 1/3 плюс 1. На какво е равно 1/3 плюс 1? Равно е на 4/3, т.е. 1/3 плюс 3/3. Мога да го запиша по този начин. Мога да го запиша като х на степен 4/3, разделено на 4/3. Получава се следното. Ще изчисля този израз за границите на интеграла. Ще го изчисля, но ще го запиша с различни цветове. Ще го изчисля за 8 и ще го изчисля за минус 1. Изчисленото за минус 1 ще извадя от израза, изчислен за 8. На какво ще бъде равно това? Нека да го опростя малко повече. Колко е 12, разделено на 4/3? Ще го запиша ето тук. 12 върху 4/3 е равно на 12 по 3/4, което ще ни даде 12/1 по 3/4. 12, делено на 4, е 3. Тогава това ще бъде равно на 9. 3/4 по 12 е равно на 9. Може да го запишем като 9 по х на степен 4/3. Изчисляваме го за 8 и получаваме 9 по 8 на степен 4/3, а от този израз ще извадим изчисленото за минус 1. Това ще бъде равно на 9, умножено по минус 1 на степен 4/3. Колко е 8 на степен 4/3? Ще го запиша ето тук. 8 на степен 4/3 е равно на 8 на степен 1/3, цялото на четвърта. Това следва от свойствата на степените. 8 на степен 1/3, т.е. корен трети от 8, или 8 на степен 1/3. Това е равно на 2, защото 2 на трета степен е 8, а 2 на четвърта степен е равно на 16. 8 на степен 4/3 е равно на 16, а колко е –1 на степен 4/3? Правим го по същия начин. –1 на степен 4/3 е равно на –1... Има няколко начина, по които да го изчислим. Може да се представи като –1 на четвърта и корен трети от това, или корен трети от минус 1, а след това да се повдигне на четвърта степен. Нека използваме първия начин. –1 на четвърта степен и след това намираме корен трети от това. Минус 1 на четвърта е равно на 1, а след това имаме 1 на степен 1/3. Е, това ще бъде равно на 1. Добре, а какво имаме тук в синьо? Ето това е равно на 1. Имаме 9 по 16, минус 9 по 1. Което ще бъде равно на 9 по 15. Имаме 16 пъти 9, а след това отнемаме един път 9, т.е. ще бъде равно на 15 по 9. И какво се получава? Получава се 9 по 15, което е 90 плюс 45, което е равно на 135. И сме готови.