Определен интеграл от частично определена функция

Имаме f от х ето тук. Частично зададена функция, като за х по-малко от 0 f от х е равно на х плюс 1. За х по-голямо или равно на 0, f от х е равно на косинус от πх. Искаме да намерим определения интеграл от минус 1 до 1, f от х, dx. Може би веднага ще попиташ: "На коя от тези версии на f от х ще търсим примитивната функция?" Защото от минус 1 до 0 ще използваме х плюс 1, а от 0 до 1 ще използваме косинус от πх. И ако разсъждаваш така, това е правилната посока. И начинът да направим това малко по-лесно действително е да разделим този определен интеграл. Това ще бъде равно на определен интеграл от минус 1 до 0, от f от х, dx плюс интеграл от 0 до 1, f от x, dx. Защо е подходящо да разделим интеграла по този начин? И по-конкретно, защо разделяме интервала от минус 1 до 1 на два интервала от минус 1 до 0 и от 0 до 1? Ще направим това, защото х равно на 0 е мястото на промяната, т.е. мястото, където х се променя от х плюс 1 на косинус от πх. Ако разглеждаш интервала от минус 1 до 0, f от x е равно на х плюс 1. Така че f от x тук е равно на х плюс 1. А след това, когато искаш да стигнеш от 0 до 1, f от x е равно на косинус от πх. Косинус от πх. А сега просто следва да намерим всеки един от тези интеграли поотделно и след това да ги съберем. Нека да намерим определен интеграл от минус 1 до 0, от х плюс 1, dx. Нека да видим. Примитивната функция на х плюс 1 е равна на следното. Примитивната функция на х е равно на х квадрат върху 2. Просто увеличавам степента, а след това разделям на получената стойност. Следва плюс х. Може да го разглеждаш като същото нещо. Ако 1 отговаря на х на нулева, то сега ще имаме х на първа, т.е. х на първа върху 1, което е само х. Ще изчисля този израз за 0 и ще извадя от него същото, изчислено за 1. О, съжалявам! Ще го изчисля за минус 1. Тогава това ще бъде равно на... Ще го изчисля за 0. Нека да го запиша с друг цвят. Ако го изчисля за 0, ще бъде равно на 0 на квадрат върху 2, което просто ще запиша ето така. 0 на квадрат върху 2, плюс 0. Това ще бъде равно просто на 0. Сега ще го изчисля за минус 1. Следва минус от минус 1 на квадрат. Минус 1 на квадрат върху 2, плюс минус 1. Минус 1 на квадрат е равно на 1. Тоест получава се 1/2 плюс –1. 1/2 плюс –1, или 1/2 минус 1, е равно на минус 1/2. Този израз е равен на минус 1/2 Сега обаче изваждаме минус 1/2. 0 минус минус 1/2 ще бъде равно на плюс 1/2. Това ще бъде равно на плюс 1/2. Следователно този първия интеграл тук е равен на плюс 1/2. Нека сега да изчислим интеграла от 0 до 1 от косинус от πх. Няма нужда от тези скоби. Косинус от πх, dx. На какво е равно това? Ако просто искахме да намерим примитивната функция на косинус от х, то е сравнително лесно. Знаем, че производната спрямо х, от синус от х, е равна на косинус от х. Обаче това не е това, което имаме тук. Имаме косинус от πх. Тук ще използваме метод, който може да наречем интегриране чрез заместване. Полагаме u да е равно на πх. Ако не знаеш как да го направиш, все пак можеш да помислиш върху този израз. Може да кажем, че може би ще съдържа синус от πх. Производната спрямо х, от синус от πх на какво ще бъде равна? Ще използваме верижното правило. Производната на външната функция спрямо вътрешната функция, или от синус от πх спрямо πх. Което ще бъде равно на косинус от πх. След това умножено по производната от вътрешната функция спрямо х. Ще бъде умножено по π. Или може да кажем, че примитивната функция на синус от πх е равна на π по косинус от πх. Почти получихме на какво е равен този интеграл, с изключение на това, че просто се нуждаем от π. Какво ще стане, ако поставим π ето тук? За да не променяме стойността обаче, трябва да умножим по 1/π. Ако разделим и умножим по едно и също число, тогава не променяме равенството. 1/π по π ще бъде равно на 1. Това обаче е полезно. Полезно е, защото знаем, че π по косинус от πх е производната от синус от πх. Следователно този интеграл ще бъде равен на следното. Равно е на 1 върху... Нека да е с друг цвят. Равно е на 1/π, умножено по... Сега ще изчисляваме. Казахме току-що, че примитивната функция тук е равна на синус от πх. И ще изчислим това за 1 и 0. Следователно това ще бъде равно на 1/π. На 1/π, а не на π. Ръката ми не слуша това, което казвам. 1/π, умножено по синус от π, минус синус от π по 0, което ще е просто 0. Синус от π е равно на 0. Синус от 0 е равно на 0. Тогава ще се получи 1/π по 0 минус 0. Целият този израз просто ще бъде равен на 0. Тази първа част беше 1/2, а тази втора част тук е равна на 0. Тогава целият определен интеграл е равен на 1/2 плюс 0, което е равно на 1/2. Всичко това заедно е равно на 1/2.