Определени интеграли на рационални функции

Искаме да изчислим определен интеграл от –1 до –2 от (16 – х^3)/х^3, dx. На пръв поглед изглежда сложно. Имаме този рационален израз, а променливата х e и в числителя, и в знаменателя. Трябва обаче просто да си спомним, че трябва да направим някакво алгебрично преобразуване, така че да опростим израза. Това е същото нещо като определен интеграл от минус 1 до минус 2 от 16/х^3 минус х^3/х^3. Минус х на трета върху х на трета, dx. А този интеграл на какво ще бъде равен? Ще бъде равен на определен интеграл от минус 1 до минус 2... Мога да запиша ето този първи член. Нека да е с различен цвят. Мога да го запиша като 16 пъти х на минус трета, а за втория член имаме минус х на трета върху х на трета. х на трета е върху х на трета, което просто ще бъде равно на 1. Тогава тук ще запиша само минус 1 dx. А това на какво ще бъде равно? Нека да намерим примитивната функция на всеки от тези членове. След това ще ги изчислим за различните граници. Нека да видим. Примитивната функция на 16 по х на минус трета. Просто ще приложим наобратно правилото за производна на степен. Можеш да разглеждаш правилото за интегриране като обратното на правилото за производна на степен, чрез което намираме примитивната функция. Това, което правим, е да увеличим степенния показател с единица. Следователно от минус 3 става на минус 2, а след това ще разделим първоначалния израз на него, т.е. разделено на минус 2. Получава се 16, разделено на минус 2, умножено по х на минус втора. Всичко, което направих, е да увелича степенния показател и да разделя на тази стойност. Това тук е примитивната функция. 16, разделено на минус 2, е равно на минус 8. Имаме минус 8 пъти х на минус втора. След това търсим примитивната функция на минус 1. Равно е просто на минус х. Минус х. Тук може би се досещаш, че производната на минус х е минус 1. А може и да разглеждаме това като минус х на нулева степен, защото 1 е равно на това. Същото нещо е. Увеличаваш степента с единица, за да получиш х на първа степен. След това разделяш на 1, т.е. може да го разглеждаш ето така. По който и да е начин се получава минус х. И сега искаме да изчислим този израз. Ще го изчислим за границите и ще намерим разликата. Ще изчислим това за минус 2, а след това от него ще извадим същото, изчислено за минус 1. Нека ги запиша с два различни цвята, за да може да виждаме какво се случва. Ще го изчислим за минус 2 и ще го изчислим за минус 1. Нека го изчислим първо за минус 2. Ще бъде равно на следното. Ще бъде равно на... Когато го изчисляваме за минус 2, имаме минус 8, умножено по х на минус втора. Тоест минус 2 на минус втора минус минус 2. И от този израз ще извадим изчисления израз за минус 1. Получава се минус 8, умножено по минус 1 на минус втора, минус минус 1. Добре, а това на какво ще бъде равно? Минус 2 на минус втора. Минус 2 на минус втора е равно на 1 върху минус 2 квадрат, което е равно на 1/4. Тогава това е равно на плюс 1/4. След това имаме минус 8, умножено по 1/4, което ще бъде равно на минус 2. А след това имаме минус 2 минус минус 2, т.е. минус 2 плюс 2. И всичко, което изчислих тук с лилаво, ще бъде равно на 0. Сега нека погледнем какво се случва с израза в оранжево. Когато изчисляваме за минус 1 се получава минус 1 на минус втора, което е 1 върху минус 1 квадрат. Това ще бъде равно на 1. Следователно ще имаме минус 8 плюс 1, което е равно на минус 7. Всичко от този израз дава резултат минус 7. Спомни си обаче, че изваждаме минус 7, следователно това ще ни даде следното. Тук заслужаваме поздравления! Това ще бъде равно на плюс 7. Очевидно не е нужно да записваш този плюс отпред. Просто го написах, за да подчертая, че това ще бъде равно на плюс 7.