Неопределен интеграл на 1/x

В настоящия урок искам да разгледаме примитивната функция на 1/х. Можем също да я представим като примитивната функция на х на степен –1. Вече знаем, че ако приложим правилото за намиране на примитивна функция, т.е. ако го приложим ето тук, ще получим нещо, което не е дефинирано. Ще получим х на нулева степен върху 0. Може би ще си кажеш, че знаеш какво да правиш в такъв случай. Когато за първи път учихме за производните, научихме, че производната – нека го запиша с жълто – производната спрямо х от натурален логаритъм от х е равна на 1/х. Тогава защо не може просто да заявим, че примитивната функция от този израз тук е равна на натурален логаритъм от х плюс С? Това всъщност не е грешно. Проблемът тук е, че не е достатъчно точно. Когато казвам достатъчно точно, имам предвид, че дефиниционното множество на първоначалната функция, чиято производна търсим, обхваща всички реални числа без х равно на 0. Ето тук х не може да бъде равно на 0. А дефиниционното множество тук съдържа само положителни числа. Тогава х в този израз следва да е по-голямо от 0. Би било добре да можем да намерим примитивна функция, която притежава същото дефиниционно множество като функцията, чиято примитивната функция търсим. Би било хубаво, ако може да намерим примитивната функция, която е дефинирана навсякъде, където и първоначалната функция е. Тоест горе-долу навсякъде, с изключение на х равно на 0. Как може да преобразуваме този израз, така че да е дефиниран и за отрицателни стойности. Една от възможностите е да помислим за натурален логаритъм от модул (абсолютна стойност) от х. Ще поставя един въпросителен знак тук, защото наистина не знаем на какво ще бъде равна производната на този израз. Няма обаче да правя строго доказателство тук, а ще предоставя обяснение на концепцията. За да го разберем, нека да изобразим функцията натурален логаритъм от х. Направил съм го предварително. Това ето тук е приблизително начинът, по който изглежда графиката на натурален логаритъм от х. А как ще изглежда графиката на натурален логаритъм от модул от х? За положителни стойности на х ще изглежда точно ето така. Положителните стойности на х са равни на абсолютната си стойност. Тогава за всички положителни стойности ще изглежда ето така. Този израз обаче ще бъде дефиниран и за отрицателни стойности на х. Ако вземем абсолютната стойност на минус 1, то функцията е равна на 1. Натурален логаритъм от 1, т.е. намираме се ето тук. Когато се приближаваме все повече и повече до 0 от отрицателната страна, просто вземаме абсолютната стойност. Следователно кривата ще изглежда по абсолютно същия начин, като натурален логаритъм от х, но от лявата страна. Графиката на натурален логаритъм от модул от х ще бъде огледален образ, който все едно се отразява от оста у. Ще изглежда като нещо такова. Хубавото на тази функция е, че е дефинирана навсякъде – опитвам се да я начертая симетрично, доколкото е възможно – освен за х равно на 0. Тогава, ако комбинираш тази розова част и тази отдясно, т.е. ако ги комбинираш и двете, ще получиш графиката на у равно на натурален логаритъм от модул х. Нека сега да помислим върху производната ѝ. Вече знаем на какво е равна производната от натурален логаритъм от х за положителни стойности на х. Нека да запиша това. За х по-голямо от 0 получаваме, че натурален логаритъм от модул х е равно на натурален логаритъм от х. Нека го запиша. Равно е на натурален логаритъм от х. И също така ще знаем, че тези два израза са равни за х е по-голямо от 0. За х е по-голямо от 0 производната от натурален логаритъм от модул х ще бъде равна на производната от натурален логаритъм от х, което е равно на 1/х за х по-голямо от 0. Нека да изобразим това. Ще го направя със зелено. Равно е на 1/х. 1/х сме виждали как изглежда и преди. Изглежда като нещо такова. Нека да направя своя най-добър опит да го начертая. Има и хоризонтална, и вертикална асимптота. Изглежда като нещо такова. Това ето тук е 1/х за х по-голямо от 0. Това е 1/х за х по-голямо от 0. Всичко, което виждаме тук – а то се вижда много ясно – е, че наклонът на допирателната ето тук е равен на 1. Това се вижда, когато погледнеш производната. Наклонът ето тук, т.е. производната следва да е равна на 1. Когато клони към 0, се получава много, много стръмен положителен наклон ето тук. Виждаш, че наклонът, т.е. производната, има много голяма стойност. После с отдалечаването си от 0 все още е стръмен, но става все по-малко и по-малко стръмен, докато не достигне до 1. И тогава продължава да намалява и да става все по-малко стръмен. Но никога не достига до това да е напълно хоризонтален. И това можем да видим за поведението на производната. А какво прави тук натуралният логаритъм от модул х? Когато се намираме тук, наклонът е приблизително 0. Има симетрия. Наклонът тук всъщност е отрицателната стойност на наклона тук. Може би ще стане по-ясно, ако го означа ето тук. Какъвто и да е наклонът ето тук, той е точно равен, но със знак минус, на наклона в симетричната точка от другата страна. Така че, ако от другата страна наклонът е ето тук, то ето тук ще бъде отрицателната стойност на това. Тогава ще се намира ето тук. А след това наклонът просто става все повече и повече отрицателен. Ето тук наклонът е плюс 1. Ето тук ще бъде минус 1. А ето тук наклонът е равен на минус 1. И тогава, когато се приближаваме все повече и повече до 0, просто ще става все повече и повече отрицателен. Производната от натурален логаритъм от модул х за х по-малко от 0 изглежда ето така. И отново виждаш, че това не е строго доказателство. Това, което виждаш обаче, е, че производната от натурален логаритъм от модул х е равна на 1/х, когато х е различно от 0. Това, което виждаш, или надявам се, можеш да си представиш, е, че производната... ще го запиша така: производната от натурален логаритъм от модул от х естествено е равна на 1/х за всички стойности на х, които са различни от 0. Това е много по-приемлива примитивна функция за 1/х. Притежава абсолютно същото дефиниционно множество. Разгледахме каква е примитивната функция на 1/х, без да правим строго доказателство. Не използвахме дефиницията за производна и останалите. Но се надявам, че поне ти дадох визуална представа за нея. Бихме казали, че е равно на натурален логаритъм от модул х плюс C. И сега имаме примитивна функция, която има същото дефиниционно множество, като функцията, чиято примитивна функция търсим.